第一章 质点运动学1–2 任意时刻at=0的运动是 运动;任意时刻an=0的运动是 运动;任意时刻a=0的运动是 运动;任意时刻at=0,an=常量的运动是 运动。解:匀速率;直线;匀速直线;匀速圆周。1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟,他能以与水平成30°角,其值为30m/s的初速从一边起跳,刚好到达另一边,则可知此沟的宽度为 (。解:此沟的宽度为1–4 一质点在xoy平面内运动,运动方程为,,位移的单位为m,试写出时质点的位置矢量__________;时该质点的瞬时速度为__________,此时的瞬时加速度为__________。解:将代入,得m,m故时质点的位置矢量为(m)由质点的运动方程为,得质点在任意时刻的速度为, 时该质点的瞬时速度为(m/s)质点在任意时刻的加速度为,时该质点的瞬时加速度为m/s2。1–6 一质点作半径R=1.0m的圆周运动,其运动方程为,θ以rad计,t以s计。则当t=2s时,质点的角位置为________;角速度为_________;角加速度为_________;切向加速度为__________;法向加速度为__________。解: t=2s时,质点的角位置为 22rad由得任意时刻的角速度大小为 t=2s时角速度为 27rad/s任意时刻的角速度大小为 t=2s时角加速度为 =24rad/s2t=2s时切向加速度为 24m/s2t=2s时法向加速度为 729m/s2;1–8 一个质点作圆周运动时,下列说法中正确的是[ ]。A. 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 B. 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 C. 切向加速度可能不变,法向加速度不变 D. 切向加速度一定改变,法向加速度不变 E. n都是变化的,因此至少其方向在不断变化。而切向加速度at是否变化,要视具体情况而定。质点作匀速圆周运动时,其切向加速度为零,保持不变;当质点作匀变速圆周运动时,at值为不为零的恒量,但方向变化;当质点作一般的变速圆周运动时,at值为不为零变量,方向同样发生变化。由此可见,应选( F. 。 G. 匀速直线运动 B.变速直线运动 C.抛物线运动 D.一般曲线运动 。 SI)。试求:(1)第2s内的平均速度;(2)第2s末的瞬时速度;(3)第2s内的路程。 解:(1)将t=1s代入得第1s末的位置为 将t=2s代入得第2s末的位置为 则第2s内质点的位移为 第2s内的平均速度 式中负号表示平均速的方向沿x轴负方向。 (2)质点在任意时刻的速度为 将代入上式得第2s末的瞬时速度为 式中负号表示瞬时速度的方向沿x轴负方向。 (3)由得质点停止运动的时刻为。由此计算得第1s末到1.5s末的时间内质点走过的路程为 第1.5s末到第2s末的时间内质点走过的路程为 则第2s内的质点走过的路程为 K为常量。试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 其中是发动机关闭时的速度。 证明:由得 即 上式积分为 得 下滑速度为匀速,如图1-4所示。当下端 离墙角距离为x(x<l)时,B端水平速度和加速度多大? 端离地高度为y。∆AOB为直角三角形,有 方程两边对t求导得 端水平速度为 端水平方向加速度为 1–23 质点作半径为的圆周运动,切向加速度为,在时质点的速度为零。试求:(1)时的速度与加速度;(2)第2s内质点所通过的路程。 解:(1)按定义,得 ,两端积分,并利用初始条件,可得 当时,质点的速度为,方向沿圆周的切线方向。 任意时刻质点的法线加速度的大小为: 任意时刻质点加速度的大小为 任意时刻加速度的方向,可由其与速度方向的夹角θ给出。且有 当时有, 注意到。所以得 (2)按定义,得,两端积分可得 故得经t时间后质点沿圆周走过的路程为 为积分常数。则第2s内质点走过的路程为: T。若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来,风速为。求飞机仍沿原正方形(对地)轨道飞行时周期要增加多少? BCD矩形路径运动,设矩形每边长为l,如无风时,依题意有 (1) B运动时的速度为,飞机从A飞到 所花时间为 (2) D运动时的速度为,飞机从C飞到 所花时间为(3) C运动和沿DA运动所花的时间是相同的,为了使飞机沿矩形线运动,飞机相对于地的飞行速度方向应与运动路径成一夹角,使得飞机速度时的速度在水平方向的分量等于,故飞机沿BC运动和沿DA运动的速度大小为,飞机在BC和DA上所花的总时间为 综上,飞机在有风沿此矩形路径运动所花的总时间,即周期为 (5) 利用(1)式,(5)式变为 飞机在有风时的周期与无风时的周期相比,周期增加值为

第一章 质点运动学

1–2 任意时刻at=0的运动是 运动;任意时刻an=0的运动是 运动;任意时刻a=0的运动是 运动;任意时刻at=0,an=常量的运动是 运动。

解:匀速率;直线;匀速直线;匀速圆周。

1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟,他能以与水平成30°角,其值为30m/s的初速从一边起跳,刚好到达另一边,则可知此沟的宽度为 (。

解:此沟的宽度为

1–4 一质点在xoy平面内运动,运动方程为,,位移的单位为m,试写出时质点的位置矢量__________;时该质点的瞬时速度为__________,此时的瞬时加速度为__________。

解:将代入,得m,m

故时质点的位置矢量为(m)

由质点的运动方程为,得质点在任意时刻的速度为

, 时该质点的瞬时速度为(m/s)

质点在任意时刻的加速度为,

时该质点的瞬时加速度为m/s2。

1–6 一质点作半径R=1.0m的圆周运动,其运动方程为,θ以rad计,t以s计。则当t=2s时,质点的角位置为________;角速度为_________;角加速度为_________;切向加速度为__________;法向加速度为__________。

解: t=2s时,质点的角位置为 22rad

由得任意时刻的角速度大小为

t=2s时角速度为 27rad/s

任意时刻的角速度大小为

t=2s时角加速度为 =24rad/s2

t=2s时切向加速度为 24m/s2

t=2s时法向加速度为 729m/s2;

1–8 一个质点作圆周运动时,下列说法中正确的是[ ]。

A. 切向加速度一定改变,法向加速度也改变
B. 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变
C. 切向加速度可能不变,法向加速度不变
D. 切向加速度一定改变,法向加速度不变
E. n都是变化的,因此至少其方向在不断变化。而切向加速度at是否变化,要视具体情况而定。质点作匀速圆周运动时,其切向加速度为零,保持不变;当质点作匀变速圆周运动时,at值为不为零的恒量,但方向变化;当质点作一般的变速圆周运动时,at值为不为零变量,方向同样发生变化。由此可见,应选(
F. 。
G. 匀速直线运动 B.变速直线运动 C.抛物线运动 D.一般曲线运动
。
SI)。试求:(1)第2s内的平均速度;(2)第2s末的瞬时速度;(3)第2s内的路程。
解:(1)将t=1s代入得第1s末的位置为
将t=2s代入得第2s末的位置为
则第2s内质点的位移为
第2s内的平均速度 式中负号表示平均速的方向沿x轴负方向。
(2)质点在任意时刻的速度为 将代入上式得第2s末的瞬时速度为 式中负号表示瞬时速度的方向沿x轴负方向。
(3)由得质点停止运动的时刻为。由此计算得第1s末到1.5s末的时间内质点走过的路程为
第1.5s末到第2s末的时间内质点走过的路程为

则第2s内的质点走过的路程为
K为常量。试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为
其中是发动机关闭时的速度。
证明:由得 即
上式积分为 得
下滑速度为匀速,如图1-4所示。当下端
离墙角距离为x(x<l)时,B端水平速度和加速度多大?
端离地高度为y。∆AOB为直角三角形,有
方程两边对t求导得
端水平速度为
端水平方向加速度为
1–23 质点作半径为的圆周运动,切向加速度为,在时质点的速度为零。试求:(1)时的速度与加速度;(2)第2s内质点所通过的路程。
解:(1)按定义,得 ,两端积分,并利用初始条件,可得

当时,质点的速度为,方向沿圆周的切线方向。
任意时刻质点的法线加速度的大小为:
任意时刻质点加速度的大小为
任意时刻加速度的方向,可由其与速度方向的夹角θ给出。且有
当时有,
注意到。所以得
(2)按定义,得,两端积分可得
故得经t时间后质点沿圆周走过的路程为
为积分常数。则第2s内质点走过的路程为:
T。若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来,风速为。求飞机仍沿原正方形(对地)轨道飞行时周期要增加多少?
BCD矩形路径运动,设矩形每边长为l,如无风时,依题意有
(1)
B运动时的速度为,飞机从A飞到
所花时间为
(2)
D运动时的速度为,飞机从C飞到
所花时间为(3)
C运动和沿DA运动所花的时间是相同的,为了使飞机沿矩形线运动,飞机相对于地的飞行速度方向应与运动路径成一夹角,使得飞机速度时的速度在水平方向的分量等于,故飞机沿BC运动和沿DA运动的速度大小为,飞机在BC和DA上所花的总时间为
综上,飞机在有风沿此矩形路径运动所花的总时间,即周期为
(5)
利用(1)式,(5)式变为
飞机在有风时的周期与无风时的周期相比,周期增加值为