7、假设总体Xsim N(mu,sigma^2)，mu，sigma未知，X_(1)，X_(2)是来自总体X的简单随机样本，则下列统计量中不是未知参数mu的无偏估计的选项是（）A. (1)/(3)X_(1)+(2)/(3)X_(2)B. (1)/(4)X_(1)+(3)/(4)X_(2)C. (1)/(3)X_(1)+(1)/(3)X_(2)D. (1)/(2)X_(1)+(1)/(2)X_(2)

本题考查无偏估计的概念及计算。解题思路是根据无偏估计的定义，若统计量$\hat{\theta}$是参数$\theta$的无偏估计，则$E(\hat{\theta}) = \theta$。对于本题，需要分别计算每个选项中统计量的期望，看其是否等于总体均值$\mu$，若不等于$\mu$，则该统计量不是$\mu$的无偏估计。

已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$X_{1}$，$X_{2}$是来自总体$X$的简单随机样本，则$E(X_{1}) = E(X_{2}) = \mu$。

• 选项A：计算$E(\frac{1}{3}X_{1}+\frac{2}{3}X_{2})$
  根据期望的线性性质$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$（其中$a$、$b$为常数，$X$、$Y$为随机变量）可得：
  $E(\frac{1}{3}X_{1}+\frac{2}{3}X_{2})=\frac{1}{3}E(X_{1})+\frac{2}{3}E(X_{2})$
  将$E(X_{1}) = E(X_{2}) = \mu$代入上式可得：
  $\frac{1}{3}\mu+\frac{2}{3}\mu = (\frac{1}{3}+\frac{2}{3})\mu=\mu$
  所以$\frac{1}{3}X_{1}+\frac{2}{3}X_{2}$是$\mu$的无偏估计。
• 选项B：计算$E(\frac{1}{4}X_{1}+\frac{3}{4}X_{2})$
  同样根据期望的线性性质可得：
  $E(\frac{1}{4}X_{1}+\frac{3}{4}X_{2})=\frac{1}{4}E(X_{1})+\frac{3}{4}E(X_{2})$
  将$E(X_{1}) = E(X_{2}) = \mu$代入上式可得：
  $\frac{1}{4}\mu+\frac{3}{4}\mu = (\frac{1}{4}+\frac{3}{4})\mu=\mu$
  所以$\frac{1}{4}X_{1}+\frac{3}{4}XX_{2}$是$\mu$的无偏估计。
• 选项C：计算$E(\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2})$
  根据期望的线性性质可得：
  $E(\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2})=\frac{1}{3}E(X_{1})+\frac{1}{3}E(X_{2})$
  将$E(X_{1}) = E(X_{2}) = \mu$代入上式可得：
  $\frac{1}{3}\mu+\frac{1}{3}\mu = \frac{2}{3}\mu\neq\mu$
  所以$\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{3}X_{2}$不是$\mu$的无偏估计。
• 选项D：计算$E(\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2})$
  根据期望的线性性质可得：
  $E(\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2})=\frac{1}{2}E(X_{1})+\frac{1}{2}E(X_{2})$
  将$E(X_{1}) = E(X_{2}) = \mu$代入上式可得：
  $\frac{1}{2}\mu+\frac{1}{2}\mu = (\frac{1}{2}+\frac{1}{2})\mu=\mu$
  所以$\frac{1}{2}X_{1}+\frac{1}{2}X_{2}$是$\mu$的无偏估计。