题目

一沿着x正方向传播的平面简谐横波，波速为v=5.00(cm/s)，周期T=2.00(s)，振幅A=2.00(cm)。x=10(cm)处有一点a在t=3(s)时位移为0，且向y轴正方向移动，该波的波函数为y= ____________。

一沿着x正方向传播的平面简谐横波，波速为$v=5.00\text{cm/s}$，周期$T=2.00\text{s}$，振幅$A=2.00\text{cm}$。$x=10\text{cm}$处有一点a在$t=3\text{s}$时位移为0，且向y轴正方向移动，该波的波函数为$y=$ ____________。

题目解答

答案

根据题目条件，求解沿 $x$ 正方向传播的平面简谐横波的波函数 $y(x,t)$，步骤如下：

  1. 确定基本参数：

    • 角频率：$\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \, \text{s}^{-1}$
    • 波长：$\lambda = vT = 10 \, \text{cm}$
    • 波数：$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{5} \, \text{cm}^{-1}$
    • 振幅：$A = 2.00 \, \text{cm}$

  2. 写出波函数通式：
    $y(x, t) = 2 \cos\left( \pi t - \frac{\pi}{5} x + \phi_0 \right) \, \text{cm}$

  3. 利用初始条件确定初相位 $\phi_0$：

    • 条件1：在 $x=10\,\text{cm}, t=3\,\text{s}$ 时，$y=0$，代入得：
      $\cos(\pi + \phi_0) = 0 \Rightarrow \phi_0 = -\frac{\pi}{2} + n\pi$
    • 条件2：此时质点向 $y$ 轴正方向运动，即 $\frac{\partial y}{\partial t} > 0$，推导得 $\sin\phi_0 > 0$
    • 综合得：$\phi_0 = \frac{\pi}{2} + 2m\pi$（取主值 $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$）

  4. 最终波函数：
    $y(x, t) = 2 \cos\left( \pi t - \frac{\pi}{5} x + \frac{\pi}{2} \right) \, \text{cm}$

解析

本题考查平面简谐横波波函数的求解，解题思路是先根据已知条件确定波函数的基本参数，再写出波函数通式，最后利用给定的初始条件确定初相位，从而得到最终的波函数。

  1. 确定基本参数：
    • 角频率$\omega$：根据公式$\omega = \frac{2\pi}{T}$，已知$T = 2.00s$，则$\omega = \frac{2\pi}{2.00} = \pi \, s^{-1}$。
    • 波长$\lambda$：根据公式$\lambda = vT$，已知$v = 5.00cm/s$，$T = 2.00s$，则$\lambda = 5.00\times2.00 = 10 \, cm$。
    • 波数$k$：根据公式$k = \frac{2\pi}{\lambda}$，已知$\lambda = 10cm$，则$k = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, cm^{-1}$。
    • 振幅$A$：题目已给出$A = 2.00 \, cm$。
  2. 写出波函数通式：
    对于沿$x$正方向传播的平面简谐横波，波函数通式为$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx + \phi_0)$，将$A = 2.00cm$，$\omega = \pi \, s^{-1}$，$k = \frac{\pi}{5} \, cm^{-1}$代入，可得$y(x, t) = 2 \cos\left( \pi t - \frac{\pi}{5} x + \phi_0 \right) \, cm$。
  3. 利用初始条件确定初相位$\phi_0$：
    • 条件1：已知在$x = 10cm$，$t = 3s$时，$y = 0$，将其代入波函数通式可得：
      $0 = 2 \cos\left( \pi\times3 - \frac{\pi}{5} \times10 + \phi_0 \right)$，即$\cos(3\pi - 2\pi + \phi_0) = \cos(\pi + \phi_0) = 0$。
      根据余弦函数的性质，$\cos\theta = 0$时，$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$（$n$为整数），所以$\pi + \phi_0 = \frac{\pi}{2} + n\pi$，解得$\phi_0 = -\frac{\pi}{2} + n\pi$。
    • 条件2：已知此时质点向$y$轴正方向运动，即$\frac{\partial y}{\partial t} \gt 0$。
      对波函数$y(x, t) = 2 \cos\left( \pi t - \frac{\pi}{5} x + \phi_0 \right)$求关于$t$的偏导数：
      $\frac{\partial y}{\partial t} = -2\pi \sin\left( \pi t - \frac{\pi}{5} x + \phi_0 \right)$。
      将$x = 10cm$，$t = 3s$代入可得：$\frac{\partial y}{\partial t} = -2\pi \sin(\pi + \phi_0)$。
      因为$\frac{\partial y}{\partial t} \gt 0$，所以$-2\pi \sin(\pi + \phi_0) \gt 0$，即$\sin(\pi + \phi_0) \lt 0$。
      根据诱导公式$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$，可得$-\sin\phi_0 \lt 0$，即$\sin\phi_0 \gt 0$。
    • 综合条件1和条件2：
      当$n$为奇数时，$\phi_0 = -\frac{\pi}{2} + n\pi$满足$\sin\phi_0 \gt 0$，取主值$n = 1$，则$\phi_0 = -\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$。
  4. 得到最终波函数：
    将$\phi_0 = \frac{\pi}{2}$代入波函数通式$y(x, t) = 2 \cos\left( \pi t - \frac{\pi}{5} x + \phi_0 \right) \, cm$，可得$y(x, t) = 2 \cos\left( \pi t - \frac{\pi}{5} x + \frac{\pi}{2} \right) \, cm$。