题目
8 - 7 两平行长直导线相距 d = 40 cm， 每根导线载有等量异向电流 I， 如图 8 - 7 所示。求： ( 1 ) 两 导线所在平面内，与左导线相距 x ( x 在两导线之间 ) 的一 点 P 处的磁感应强度。 ( 2 ) 若 I = 20 A ，通过图中斜线所示面积的磁通量 ( https:/img.cdnjtzy.com/zyb_9b89f96108e6b15964eebdd4e75fead3.jpg=(r)_(3)=10cm l=25cm)。https:/img.cdnjtzy.com/zyb_8e803f4e19ca1ca4f0f8192cff4874dc.jpg=(r)_(3)=10cm l=25cm
8 - 7 两平行长直导线相距 d = 40 cm， 每根导线载有等量异向电流 I， 如图 8 - 7 所示。求： ( 1 ) 两 导线所在平面内，与左导线相距 x ( x 在两导线之间 ) 的一 点 P 处的磁感应强度。 ( 2 ) 若 I = 20 A ，通过图中斜线所示面积的磁通量 ( 
)。
题目解答
答案
解：(1)在两导线所在平面内与两导线等距离处的磁感应强度为
(2)所求磁通量为
解析
步骤 1：确定磁感应强度的计算公式
根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在距离导线r处产生的磁感应强度为
$B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
其中，${\mu }_{0}$是真空磁导率，$I$是电流，$r$是距离导线的距离。
步骤 2：计算点P处的磁感应强度
点P处的磁感应强度是两根导线在该点产生的磁感应强度的矢量和。设左导线在P点产生的磁感应强度为${B}_{1}$，右导线在P点产生的磁感应强度为${B}_{2}$，则
${B}_{1}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}$
${B}_{2}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d-x)}$
由于两根导线中的电流方向相反，所以${B}_{1}$和${B}_{2}$的方向相反，因此点P处的磁感应强度为
$B={B}_{1}-{B}_{2}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}-\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d-x)}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{d-x}\right)$
步骤 3：计算磁通量
磁通量$\Phi$是磁感应强度$B$在面积$S$上的积分，即
$\Phi=\int_{S}B\cdot dS$
对于给定的面积，磁通量为
$\Phi=\int_{r_{1}}^{r_{2}}B\cdot ldr=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{d-r}\right)ldr$
其中，$r_{1}=10cm$，$r_{2}=30cm$，$l=25cm$，$d=40cm$，$I=20A$，${\mu }_{0}=4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A$。
将已知量代入上式，得
$\Phi=\int_{10cm}^{30cm}\dfrac{4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A\times 20A}{2\pi }\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{40cm-r}\right)25cmdr$
$=\int_{10cm}^{30cm}\dfrac{4\times {10}^{-6}T\cdot m}{r}-\dfrac{4\times {10}^{-6}T\cdot m}{40cm-r}25cmdr$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\int_{10cm}^{30cm}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{40cm-r}\right)dr$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln r-\ln (40cm-r)\right]_{10cm}^{30cm}$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln \dfrac{r}{40cm-r}\right]_{10cm}^{30cm}$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln \dfrac{30cm}{10cm}-\ln \dfrac{10cm}{30cm}\right]$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln 3-\ln \dfrac{1}{3}\right]$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln 3+\ln 3\right]$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[2\ln 3\right]$
$=4\times {10}^{-6}T\cdot m\ln 3$
$=2.2\times {10}^{-6}Wb$
根据毕奥-萨伐尔定律，无限长直导线在距离导线r处产生的磁感应强度为
$B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$
其中，${\mu }_{0}$是真空磁导率，$I$是电流，$r$是距离导线的距离。
步骤 2：计算点P处的磁感应强度
点P处的磁感应强度是两根导线在该点产生的磁感应强度的矢量和。设左导线在P点产生的磁感应强度为${B}_{1}$，右导线在P点产生的磁感应强度为${B}_{2}$，则
${B}_{1}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}$
${B}_{2}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d-x)}$
由于两根导线中的电流方向相反，所以${B}_{1}$和${B}_{2}$的方向相反，因此点P处的磁感应强度为
$B={B}_{1}-{B}_{2}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi x}-\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi (d-x)}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{d-x}\right)$
步骤 3：计算磁通量
磁通量$\Phi$是磁感应强度$B$在面积$S$上的积分，即
$\Phi=\int_{S}B\cdot dS$
对于给定的面积，磁通量为
$\Phi=\int_{r_{1}}^{r_{2}}B\cdot ldr=\int_{r_{1}}^{r_{2}}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi }\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{d-r}\right)ldr$
其中，$r_{1}=10cm$，$r_{2}=30cm$，$l=25cm$，$d=40cm$，$I=20A$，${\mu }_{0}=4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A$。
将已知量代入上式，得
$\Phi=\int_{10cm}^{30cm}\dfrac{4\pi \times {10}^{-7}T\cdot m/A\times 20A}{2\pi }\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{40cm-r}\right)25cmdr$
$=\int_{10cm}^{30cm}\dfrac{4\times {10}^{-6}T\cdot m}{r}-\dfrac{4\times {10}^{-6}T\cdot m}{40cm-r}25cmdr$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\int_{10cm}^{30cm}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{40cm-r}\right)dr$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln r-\ln (40cm-r)\right]_{10cm}^{30cm}$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln \dfrac{r}{40cm-r}\right]_{10cm}^{30cm}$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln \dfrac{30cm}{10cm}-\ln \dfrac{10cm}{30cm}\right]$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln 3-\ln \dfrac{1}{3}\right]$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[\ln 3+\ln 3\right]$
$=2\times {10}^{-6}T\cdot m\left[2\ln 3\right]$
$=4\times {10}^{-6}T\cdot m\ln 3$
$=2.2\times {10}^{-6}Wb$