题目

3.设f'(x)在区间[0,1]上连续,则 (int )_(0)^1xf'(x)dx=() .-|||-A. f(1)-f(0)-f'(1) ; B. -f(1)-f(0)-f'(1) ;-|||-C. -f(1)-f(0)+f'(1) ; D. -f(1)+f(0)+f'(1) 。

题目解答

答案

解析

本题主要考察定积分的分部积分法，用于计算含导数的积分$\int_{0}^{1}xf'(x)dx$。

解题步骤：

  1. 分部积分公式：对于积分$\int udv$，有$\int udv=uv-\int vdu$。
    观察被积函数$xf'(x)$，可令：
    $u=x$（易求导），$dv=f'(x)dx$（易积分）。
    则：$du=dx$，$v=\int f'(x)dx=f(x)$。

  2. 代入分部积分公式：
    $\int_{0}^{1}xf'(x)dx=\left[uv\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}vdu=\left[xf(x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(x)dx$

  3. 计算边界项$\left[xf(x)\right]_{0}^{1}$：
    代入$x=1$和$x=0$：
    $\left[1\cdot f(1)-0\cdot f(0)\right]=f(1)-0=f(1)$

  4. 计算剩余积分$\int_{0}^{1}f(x)dx$：
    注意到$\int_{0}^{1}f(x)dx$的原函数是$F(x)$（满足$F'(x)=f(x)$），但题目仅告知$f'(x)$连续，未直接给出$f(x)$的原函数。不过，结合选项特征，需进一步关联$f(1)$和$f(0)$：
    由分部积分结果：
    $\int_{0}^{1}xf'(x)dx=f(1)-\int_{0}^{1}f(x)dx$
    但根据答案推导中的补充（可能题目原始条件含$f''(x)$或笔误），若考虑后续对$\int f(x)dx$再分部积分：
    令$u=f(x)$，$dv=dx$，则$du=f'(x)dx$，$v=x$，
    $\int f(x)dx=xf(x)-\int xf'(x)dx$
    代入得：
    $\int_{0}^{1}xf'(x)dx=f(1)-\left[f(1)-f(0)-\int_{0}^{1}xf'(x)dx\right]$
    化简后发现矛盾，说明原始答案可能存在笔误，正确推导应为：
    标准答案推导错误，正确步骤如下：
    重新分部积分：
    $\int_{0}^{1}xf'(x)dx=\left[xf(x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(x)dx=f(1)-\int_{0}^{1}f(x)dx$
    但根据选项，正确答案应为$D:-f(1)+f(0)+f'(1)$，可能题目原始条件应为$f''(x)$连续，若为$\int_{0}^{1}xf''(x)dx$，则：
    $\int_{0}^{1}xf''(x)dx=\left[xf'(x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}f'(x)dx=f'(1)-\left[f(1)-f(0)\right]=f'(1)-f(1)+f(0)$
    即$-f(1)+f(0)+f'(1)$，与选项$D$一致。