题目
简答题(共7题,35.0分)(5.0分)计算不定积分求int sin ^3x cos xdx
简答题(共7题,35.0分)
(5.0分)计算不定积分
求$\int \sin ^{3}x \cos xdx$
题目解答
答案
令 $u = \sin x$,则 $du = \cos x \, dx$。
原积分变为
\[
\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C.
\]
**答案:**
\[
\boxed{\frac{\sin^4 x}{4} + C}
\]
解析
步骤 1:代换
令 $u = \sin x$,则 $du = \cos x \, dx$。 这样,原积分中的 $\sin^3 x \cos x$ 可以被 $u^3 du$ 替换。
步骤 2:积分
将原积分 $\int \sin ^{3}x \cos xdx$ 替换为 $\int u^3 \, du$。 这是一个简单的幂函数积分,其结果为 $\frac{u^4}{4} + C$。
步骤 3:回代
将 $u = \sin x$ 回代到积分结果中,得到 $\frac{\sin^4 x}{4} + C$。
令 $u = \sin x$,则 $du = \cos x \, dx$。 这样,原积分中的 $\sin^3 x \cos x$ 可以被 $u^3 du$ 替换。
步骤 2:积分
将原积分 $\int \sin ^{3}x \cos xdx$ 替换为 $\int u^3 \, du$。 这是一个简单的幂函数积分,其结果为 $\frac{u^4}{4} + C$。
步骤 3:回代
将 $u = \sin x$ 回代到积分结果中,得到 $\frac{\sin^4 x}{4} + C$。