题目
某一宇宙射线中的介子的动能_(k)=2mo(c)^2,其中_(k)=2mo(c)^2,是介子的静止质量,该介子的固有寿命_(k)=2mo(c)^2,.试求(1)在实验室下观察到它的寿命是多少？(2)在实验室下该介子在衰变前能运动多长距离？
某一宇宙射线中的介子的动能
其中
是介子的静止质量,该介子的固有寿命
.试求(1)在实验室下观察到它的寿命是多少？(2)在实验室下该介子在衰变前能运动多长距离？
题目解答
答案
根据相对论时间膨胀公式
，其中
是固有时间（这里是），t是实验室参考系下的时间（即所求的寿命）。
首先求介子的速度，由相对论动能公式
，已知，则
，又
，可得
，解得
再代入时间膨胀公式
。
(2) 在实验室参考系下，介子运动的距离d=vt，将
和
代入，可得
。
所以：
(1) 在实验室下观察到它的寿命是
代。
(2) 在实验室下该介子在衰变前能运动
的距离。
解析
步骤 1：计算介子的速度
根据相对论动能公式${E}_{k}=m{c}^{2}-{m}_{0}{c}^{2}$，已知${E}_{k}=2mo{c}^{2}$，则$m{c}^{2}=3mo{c}^{2}$。又$m=\dfrac {{m}_{0}}{\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}}$，可得$\dfrac {{m}_{0}}{\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}}=3{m}_{0}{c}^{2}$，解得$\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\dfrac {1}{3}$，$v=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c$。
步骤 2：计算实验室下观察到的介子寿命
根据相对论时间膨胀公式$t=\dfrac {{t}_{0}}{\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}}$，其中$t_{0}$是固有时间（这里是$T_{0}$），$t$是实验室参考系下的时间（即所求的寿命）。将$v=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c$代入，可得$t=\dfrac {{T}_{0}}{\dfrac {1}{3}}=3{T}_{0}$。
步骤 3：计算介子在衰变前能运动的距离
在实验室参考系下，介子运动的距离$d=vt$，将$v=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c$和$t=3{T}_{0}$代入，可得$d=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c\times 3{T}_{0}=2\sqrt {2}c{T}_{0}$。
根据相对论动能公式${E}_{k}=m{c}^{2}-{m}_{0}{c}^{2}$，已知${E}_{k}=2mo{c}^{2}$，则$m{c}^{2}=3mo{c}^{2}$。又$m=\dfrac {{m}_{0}}{\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}}$，可得$\dfrac {{m}_{0}}{\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}}=3{m}_{0}{c}^{2}$，解得$\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}=\dfrac {1}{3}$，$v=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c$。
步骤 2：计算实验室下观察到的介子寿命
根据相对论时间膨胀公式$t=\dfrac {{t}_{0}}{\sqrt {1-\dfrac {{v}^{2}}{{c}^{2}}}}$，其中$t_{0}$是固有时间（这里是$T_{0}$），$t$是实验室参考系下的时间（即所求的寿命）。将$v=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c$代入，可得$t=\dfrac {{T}_{0}}{\dfrac {1}{3}}=3{T}_{0}$。
步骤 3：计算介子在衰变前能运动的距离
在实验室参考系下，介子运动的距离$d=vt$，将$v=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c$和$t=3{T}_{0}$代入，可得$d=\dfrac {2\sqrt {2}}{3}c\times 3{T}_{0}=2\sqrt {2}c{T}_{0}$。