题目

设(0，-1，0，0，1，0，1，1)为取自总体ξ的样本观测值，ξ具有如下分布：}xi&-1&0&1Pxi=k&theta(1-theta)&(1-theta)^2&theta7.(30.0分) 1)求θ的矩法估计值；2)求θ的极大似然估计值；3)求概率P(ξ≠0)的极大似然估计值

设(0，-1，0，0，1，0，1，1)为取自总体ξ的样本观测值，ξ具有如下分布： $\begin{cases}\xi&-1&0&1\\P\{\xi=k\}&\theta(1-\theta)&(1-\theta)^{2}&\theta\end{cases}$ 7.(30.0分) 1)求θ的矩法估计值；2)求θ的极大似然估计值；3)求概率P{ξ≠0}的极大似然估计值

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要根据给定的样本观测值和总体分布，找到参数$\theta$的矩法估计值、极大似然估计值，以及概率$P\{\xi \neq 0\}$的极大似然估计值。

1. 矩法估计值

矩法估计涉及将总体矩与样本矩相等。对于这个分布，总体均值$\mu$由下式给出：
$\mu = (-1) \cdot \theta(1-\theta) + 0 \cdot (1-\theta)^2 + 1 \cdot \theta = -\theta + \theta^2 + \theta = \theta^2$
样本均值$\bar{x}$是样本观测值的平均值：
$\bar{x} = \frac{0 + (-1) + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
将总体均值与样本均值相等，我们得到：
$\theta^2 = \frac{1}{4}$
解$\theta$，我们得到：
$\theta = \frac{1}{2} \quad \text{(由于$\theta$是一个概率，它必须在0和1之间)}$
因此，$\theta$的矩法估计值是：
$\boxed{\frac{1}{2}}$

2. 极大似然估计值

极大似然估计涉及找到使似然函数最大化的$\theta$值。似然函数$L(\theta)$是观察到的样本概率的乘积：
$L(\theta) = P\{\xi = 0\}^5 \cdot P\{\xi = -1\}^2 \cdot P\{\xi = 1\}^1 = [(1-\theta)^2]^5 \cdot [\theta(1-\theta)]^2 \cdot \theta^1 = (1-\theta)^{12} \cdot \theta^3$
为了找到使$L(\theta)$最大化的$\theta$值，我们取似然函数的自然对数：
$\ell(\theta) = \ln L(\theta) = 12 \ln (1-\theta) + 3 \ln \theta$
我们对$\ell(\theta)$关于$\theta$求导，并将其设为零：
$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{-12}{1-\theta} + \frac{3}{\theta} = 0$
解$\theta$，我们得到：
$\frac{3}{\theta} = \frac{12}{1-\theta} \implies 3(1-\theta) = 12\theta \implies 3 = 15\theta \implies \theta = \frac{1}{5}$
为了确认这个$\theta$值使似然函数最大化，我们检查二阶导数：
$\frac{d^2\ell(\theta)}{d\theta^2} = \frac{12}{(1-\theta)^2} + \frac{-3}{\theta^2}$
对于$\theta = \frac{1}{5}$，二阶导数为负，表明最大值。因此，$\theta$的极大似然估计值是：
$\boxed{\frac{1}{5}}$

3. 概率$P\{\xi \neq 0\}$的极大似然估计值

概率$P\{\xi \neq 0\}$是：
$P\{\xi \neq 0\} = P\{\xi = -1\} + P\{\xi = 1\} = \theta(1-\theta) + \theta = \theta(2-\theta)$
使用$\theta$的极大似然估计值$\frac{1}{5}$，我们得到：
$P\{\xi \neq 0\} = \frac{1}{5} \left(2 - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{25}$
因此，概率$P\{\xi \neq 0\}$的极大似然估计值是：
$\boxed{\frac{9}{25}}$

解析

本题主要考查参数估计中的矩法估计和极大似然估计的知识点。解题解题思路如下：

  1. 求$\theta$的矩法估计值：
    • 首先，根据总体分布求出总体均值$\mu$。总体均值$\mu$是随机变量$\xi$取值与其对应概率乘积的总和，即$\mu = \sum_{k} k\cdot P\{\xi = k\}$。
    • 然后，计算样本均值$\bar{x}$，样本均值$\bar{x}$是样本观测值的平均值，公式为$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 11}^{n}x_{i}$，其中$n$)是样本容量，$x_{i}$是第$i$个样本观测值。
    • 最后，令总体均值$\mu$等于样本均值$\bar{x}$，解出$\theta$的值，由于$\theta$是概率，其取值范围是$0<\theta<1$，据此确定$\theta$的矩法估计值。
    • 计算总体均值$\mu$：
      已知$\xi$的分布为$\begin{cases}\xi&-1&0&1\\P\{\xi=k\}&\theta(1 - \theta)&(1 - \theta)^{2}&\theta}\end{cases}$，根据总体均值公式可得：
      $\mu=(-1)\times\theta(1 - \theta)+0\times(1 - \theta)^{2}+1\times\theta=-\theta+\theta^{2}+\theta=\theta^{2}$
    • 计算样本均值$\bar{x}$：
      样本观测值为$(0,-1,0,0,1,0,1,1)$，样本容量$n = 8$，则：
      $\bar{x}=\frac{0+( - 1)+0+0 + 1+0 + 1+1}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$
      令$\theta$的矩估计值$\hat{\theta}$：
      令$\mu=\bar{x}$，即$\theta^{2}=\frac{1}{4}$，解得$\theta=\pm\frac{1}{2}$，因为$0<\theta<1$，所以$\hat{\theta}=\frac{1}{2}$。
  2. 求$\theta$的极大似然估计值：
    • 先写出似然函数$L(\theta)$，似然函数是样本观测值出现的概率的乘积。
    • 对似然函数取自然对数得到对数似然函数$\ell(\theta)$。
    • 对对数似然函数$\ell(\theta)$关于$\theta$求导，并令导数为$0$，解出$\theta$的值。
    • 为了验证该值是否使似然函数取得最大值，可对对数似然函数求二阶导数，判断二阶导数在该$\theta$值处的正负性，若二阶导数小于$0$，则该值为最大值点。
    • 写出似然函数$L(\theta)$：
      样本中$0$出现了$5$次，$-1$出现了$2$次，$1$出现了$1$次，则：
      $L(\theta)=P\{\xi = 0\}^{5}\cdot P\{\xi=-1\}^{2}\cdot P\{\xi = 1\}^{1}=[(1 - \theta)^{2}]^{5}\cdot[\theta(1 - \theta)]^{2}\cdot\theta^{1}=(1 - \theta)^{12}\cdot\theta^{3}$
    • 求对数似然函数$\ell(\theta)$：
      $\ell(\theta)=\ln L(\theta)=12\ln(1 - \theta)+3\ln\theta$
    • 求$\theta$的极大似然估计值$\hat{\theta}$：
      对$\ell(\theta)$求导：
      $\frac{d\ell(\theta)}{d\theta}=\frac{-12}{1 - \theta}+\frac{3}{\theta}=0$
      移项可得：
      $\frac{3}{\theta}=\frac{12}{1 - \theta}$ \implies 3(1 - \theta)=12\theta \implies 3 = 15\theta \implies \theta=\frac{1}{5})
    • 验证$\theta=\frac{1}{5}$是最大值点：
      对$\ell(\theta)$求二阶导数：
      $\frac{d^{2}\ell(\theta)}{d\theta^{2}}=\frac{12}{(1 - \theta)^{2}}-\frac{3}{\theta^{2}}$
      将$\theta=\frac{1}{5}$代入二阶导数：
      $\frac{d^{2}\ell(\frac{1}{5})}{d\theta^{2}}=\frac{12}{(1-\frac{1}{5})^{2}}-\frac{3}{(\frac{1}{5})^{2}}=\frac{1}{(\frac{16}{25}}-75=\frac{25}{16}-75<0$
      所以$\theta=\frac{1}{5}$时，似然函数取得最大值，即$\hat{\theta}=\frac{1}{5}$。
  3. 求概率$P\{\xi\neq0\}$的极大似然估计值：
    • 先根据总体分布求出$P\{\xi\neq0\}=P\{\xi=-1\}+P\{\xi = 1\}$，求出$P\{\xi\neq0$关于$\theta$的表达式。
    • 然后将$\theta$的极大似然估计值$\hat{\theta}$代入$P\{\xi\neq0\}$的表达式，得到$P\{\xi\neq0\}$的极大似然估计值。
    • 计算$P\{\xi\neq0\}$关于$\theta$的表达式：
      $P\{\xi\neq0\}=P\{\xi=-1\}+P\{\xi = 1\}=\theta(1 - \theta)+\theta=\theta(2 - \theta)$
    • 求$P\{\xi\neq0\}$的极大似然估计值$\hat{P}$：
      将$\hat{\theta}=\frac{1}{5}$代入$P\{\xi\neq0\}$的表达式：
      $\hat{P}=\frac{1}{5}(2-\frac{1}{5})=\frac{1{5}\times\frac{9}{5}=\frac{9}{25}$