题目

10-10 波源作简谐振动,其运动方程为 =4.0times (10)^-3cos (240pi t), 式中y的单-|||-位为m,t的单位为s,它所形成的波以 cdot (s)^-1 的速度沿一直线传播.(1)求波-|||-的周期及波长;(2)写出波动方程.

题目解答

答案

解析

本题主要考查简谐振动和波动方程的相关知识。解题的关键在于理解波源的简谐振动方程与波动方程之间的联系，通过已知的波源运动方程求出角频率，再利用角频率与周期、波长的关系求出周期和波长，最后根据波动方程的一般形式写出波动方程。

  1. 求波的周期及波长
    • 已知波源的运动方程为$y = 4.0\times 10^{-3}\cos(240\pi t)$，与简谐振动方程的一般形式$y = A\cos(\omega t + \varphi_0)$对比，可得角频率$\omega = 240\pi\ s^{-1}$。
    • 根据周期$T$与角频率$\omega$的关系$\omega = \frac{2\pi}{T}$，可得周期$T$的计算公式为$T = \frac{2\pi}{\omega}$。
    • 将$\omega = 240\pi\ s^{-1}$代入上式，可得$T = \frac{2\pi}{240\pi} = \frac{1}{120} \approx 8.33\times 10^{-3}\ s$。
    • 已知波速$u = 30\ m\cdot s^{-1}$，根据波长$\lambda$、波速$u$和周期$T$的关系$\lambda = uT$，可得$\lambda = 30\times\frac{1}{120} = 0.25\ m$。
  2. 写出波动方程
    • 波动方程的一般形式为$y = A\cos[\omega(t - \frac{x}{u}) + \varphi_0]$，其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$u$为波速，$\varphi_0$为初相位。
    • 由波源的运动方程$y = 4.0\times 10^{-3}\cos(240\pi t)$，与简谐振动方程的一般形式对比，可得$A = 4.0\times 10^{-3}\ m$，$\omega = 240\pi\ s^{-1}$，$\varphi_0 = 0$。
    • 已知波速$u = 30\ m\cdot s^{-1}$，将$A = 4.0\times 10^{-3}\ m$，$\omega = 240\pi\ s^{-1}$，$u = 30\ m\cdot s^{-1}$，$\varphi_0 = 0$代入波动方程的一般形式，可得$y = 4.0\times 10^{-3}\cos[240\pi(t - \frac{x}{30}) + 0]$。
    • 化简上式，$y = 4.0\times 10^{-3}\cos(240\pi t - 8\pi x)$，其中$y$和$x$的单位为$m$，$t$的单位为$s$。