10.（填空题，4.0分）信号一个一个地陆续到来.第一个信号的到达时刻，以及各信号间的到达时刻间隔是相互独立的随机变量，且均服从指数分布，平均间隔为0.2分钟，用中心极限定理近似求得16分钟时来的信号数不超过100个的概率为____.(请小数点之后保留4位有效数字.Phi(2)=0.9772，Phi(1)=0.8413)

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及指数分布的性质及正态分布的标准化计算。

解题核心思路：

1. 识别变量关系：信号到达时间间隔服从指数分布，总时间由多个独立同分布的随机变量之和构成。
2. 应用中心极限定理：当信号数足够大时，总时间近似服从正态分布。
3. 标准化转换：将求和变量标准化为标准正态变量，利用标准正态分布函数计算概率。

破题关键点：

• 确定指数分布参数：根据平均间隔求参数$\lambda$。
• 计算总时间的期望与方差：利用独立同分布变量的性质。
• 正确应用标准化公式：将实际问题转化为标准正态分布的概率计算。

步骤1：确定指数分布参数
已知信号到达时间间隔$X_i$的平均值为$0.2$分钟，指数分布的期望为$E(X_i) = \frac{1}{\lambda}$，因此参数$\lambda = \frac{1}{0.2} = 5$。

步骤2：计算总时间的期望与方差
设前$100$个信号的总到达时间为$S_{100} = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$，则：

• 期望：$E(S_{100}) = 100 \times E(X_i) = 100 \times 0.2 = 20$（分钟）
• 方差：$\text{Var}(S_{100}) = 100 \times \text{Var}(X_i) = 100 \times \frac{1}{\lambda^2} = 100 \times \frac{1}{25} = 4$
• 标准差：$\sigma = \sqrt{4} = 2$

步骤3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，$S_{100}$近似服从正态分布$N(20, 4)$。

步骤4：标准化并计算概率
求$P(S_{100} \leq 16)$，标准化后：
$Z = \frac{S_{100} - \mu}{\sigma} = \frac{16 - 20}{2} = -2$
对应概率为：
$P(Z \leq -2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$