计算二重积分 ∬ D xydσ，其中区域D为曲线r=1+cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成．

步骤 1：确定积分区域D
区域D由极坐标方程r=1+cosθ（0≤θ≤π）与极轴围成，因此D={（r，θ）|0≤θ≤π，0＜r≤1+cosθ}。

步骤 2：将二重积分转换为极坐标形式
将二重积分∬
D
xydσ转换为极坐标形式，其中x=rcosθ，y=rsinθ，dσ=rdrdθ。因此，原积分变为 ∫
π 0
dθ ∫
1+cosθ 0
r2sinθcosθ•rdr。

步骤 3：计算内层积分
计算内层积分 ∫
1+cosθ 0
r2sinθcosθ•rdr，得到 1
4
sinθcosθ•(1+cosθ)4。

步骤 4：计算外层积分
计算外层积分 1
4
∫
π 0
sinθcosθ•(1+cosθ)4dθ，令u=cosθ，得到− ∫
π 0
cosθ•(1+cosθ)4dcosθ。

步骤 5：计算最终结果
计算最终结果，得到 1
4
∫
1 −1
u(1+u)4du = 1
4
∫
1 −1
(u+4u2+6u3+4u4+u5)du =2 ∫
1 0
(u2+u4)du＝2( 1
3
u3+ 1
5
u5) |
1 0
= 16
15
。