一质量m的质点在力F=2xyi+3x^2j的作用下由静止开始沿一轨迹方程为x^2=9y的曲线从原点O(0,0)运动到Q(3,1)点试求质点运动到Q点时的速度

步骤 1：确定力F在x轴和y轴上的分量
力F在x轴上的分量为2xy，力F在y轴上的分量为$3{x}^{2}$。

步骤 2：计算力F在x轴方向上做的功
根据力F在x轴上的分量，计算力F在x轴方向上做的功。由于质点沿曲线$x^2=9y$运动，可以将y表示为x的函数，即$y=\frac{x^2}{9}$。因此，力F在x轴方向上做的功为：
$$W_1 = \int_{0}^{3} 2xy dx = \int_{0}^{3} 2x \cdot \frac{x^2}{9} dx = \frac{2}{9} \int_{0}^{3} x^3 dx = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4} x^4 \Big|_{0}^{3} = \frac{1}{18} (3^4 - 0) = 4.5J$$

步骤 3：计算力F在y轴方向上做的功
根据力F在y轴上的分量，计算力F在y轴方向上做的功。由于质点沿曲线$x^2=9y$运动，可以将x表示为y的函数，即$x=\sqrt{9y}$。因此，力F在y轴方向上做的功为：
$$W_2 = \int_{0}^{1} 3x^2 dy = \int_{0}^{1} 3 \cdot 9y dy = 27 \int_{0}^{1} y dy = 27 \cdot \frac{1}{2} y^2 \Big|_{0}^{1} = \frac{27}{2} (1^2 - 0) = 13.5J$$

步骤 4：计算力F做的总功
力F做的总功为力F在x轴方向上做的功和力F在y轴方向上做的功之和，即：
$$W = W_1 + W_2 = 4.5J + 13.5J = 18J$$

步骤 5：计算质点运动到Q点时的速度
根据动能定理，力F做的总功等于质点动能的增量，即：
$$W = \frac{1}{2} m v^2$$
因此，质点运动到Q点时的速度为：
$$v = \sqrt{\frac{2W}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 18}{m}} = \frac{6}{\sqrt{m}}$$