题目

一质量为m的地球卫星,沿半径为3R的圆轨道运动,R为地球的半径,已知地球的质量为M,求：(1)卫星的动能？(2)卫星的引力势能？(3)卫星的机械能？

一质量为$$m$$的地球卫星,沿半径为$$3R$$的圆轨道运动,$$R$$为地球的半径,已知地球的质量为$$M$$,求：

(1)卫星的动能？

(2)卫星的引力势能？

(3)卫星的机械能？

题目解答

答案

(1)卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力，由牛顿定律可得，

$$G\frac{m_Em}{(3R_E)^2} =m\frac{v^2}{3R_E}$$$$G \frac { mM } { \left(3 R \right) ^ { 2 } } = m \frac { v ^ { 2 } } { 3R }$$

则$$E_k=\frac{1}{2} mv^2=G\frac{m_Em}{6R_E}$$;

(2)取卫星与地球相距无限远(r$$\longrightarrow\infty $$)时的势能为零，则处在轨道上的卫星所具有的势能为

$$E_p=-G\frac{m_Em}{3R_E}$$；

(3)卫星的机械能为

$$E=E_p+E_k=G\frac{m_Em}{6R_E} -G\frac{m_Em}{3R_E} =-G\frac{m_Em}{6R_E}$$


解析

考查要点：本题主要考查卫星的机械能计算，涉及万有引力定律、动能、引力势能及机械能的关系。

解题核心思路：

  1. 动能：利用万有引力提供向心力，求出卫星的速度，代入动能公式计算。
  2. 引力势能：根据引力势能的定义式直接计算，注意符号。
  3. 机械能：动能与引力势能的代数和。

破题关键点：

  • 万有引力与向心力关系：卫星绕地球做圆周运动，万有引力等于向心力。
  • 引力势能公式：$E_p = -\frac{G M m}{r}$，其中$r$为轨道半径。
  • 机械能守恒：卫星的机械能为动能与势能之和，结果为负值。

第（1）题：卫星的动能

根据万有引力提供向心力

$G \frac{M m}{(3R)^2} = m \frac{v^2}{3R}$

解方程求速度$v$

$v^2 = \frac{G M}{3R} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{G M}{3R}}$

计算动能

$E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \cdot \frac{G M}{3R} = \frac{G M m}{6R}$

第（2）题：卫星的引力势能

引力势能公式

$E_p = -\frac{G M m}{r}$

代入轨道半径$r = 3R$

$E_p = -\frac{G M m}{3R}$

第（3）题：卫星的机械能

机械能为动能与势能之和

$E = E_k + E_p = \frac{G M m}{6R} + \left( -\frac{G M m}{3R} \right)$

化简结果

$E = -\frac{G M m}{6R}$