[题目]在真空中半径分别为R和2 R的两个同心球-|||-面,其上分别均匀地带有电量 +9和-39. 今将一电量-|||-为 +Q 的带电粒子从内球面处由静止释放,则该粒子-|||-到达外球面时的动能为多少?

本题主要考察高斯定理、电势差计算以及动能定理的综合应用，具体思路如下：

步骤1：用高斯定理求电场分布

真空中静电场满足高斯定理：$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$（$\varepsilon_0$为真空介电常数）。

• 内球面（$r < R$）：内部无电荷，$Q_{\text{内}}=0$，故$E=0$；
• 两球面之间（$R < r < 2R$）：内部仅含内球面电荷$+q$（题目中“$+4$”应为“$+q$”笔误），则：
  $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \implies E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$；
• 外球面外（$r > 2R$）：内部总电荷$+q-3q=-2q$，但粒子仅运动到外球面（$r=2R$），无需考虑。

步骤2：计算两球面间的电势差

电势差$U_{ab} = \int_a^b \vec{E} \cdot d\vec{r}$，粒子从内球面（$r=R$）到外球面（$r=2R$），积分得：
$U = \int_R^{2R} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} dr = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( -\frac{1}{r} \right)\bigg|_R^{2R} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{2R} \right) = \frac{q}{8\pi \varepsilon_0 R}$。

步骤3：用动能定理求末动能

粒子仅受电场力，电场力做功等于动能增量：$W = qU = \Delta E_k$（初动能为0），故：
$E_k = Q_1 U = \frac{Q_1 q}{8\pi \varepsilon_0 R}$（题目中“$Q1$”应为“$Q_1$”，“$QU$”应为“$Q_1 U$”）。