题目
-5 一半径为R 的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处电场强度的大小.
-5 一半径为R 的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处电场强度的大小.
题目解答
答案
分析 这仍是一个连续带电体问题,求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环,如图所示,从教材第5 -3 节的例1 可以看出,所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同,将所有带电圆环的电场强度积分,即可求得球心O 处的电场强度.
解 将半球壳分割为一组平行细圆环,任一个圆环所带电荷元
,在点O 激发的电场强度为
由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同,利用几何关系
,
统一积分变量,有
积分得 
解析
步骤 1：分割半球壳为细圆环
将半球壳分割为一组平行的细圆环，每个圆环的半径为$r=R\sin \theta $，其中$\theta $是圆环中心到球心的连线与球的直径的夹角。
步骤 2：计算每个圆环的电荷元
每个圆环的电荷元为$q=8dS=8.2\pi {R}^{2}\sin \theta d\theta $，其中$dS$是圆环的面积元，$8$是电荷面密度。
步骤 3：计算每个圆环在球心处的电场强度
每个圆环在球心处的电场强度为$E=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({x}^{2}+{r}^{2})}^{2/3}}$，其中$x=R\cos \theta $是圆环中心到球心的距离，$r=R\sin \theta $是圆环的半径。
步骤 4：积分求解球心处的总电场强度
由于所有平行细圆环在球心处的电场强度方向相同，可以将所有带电圆环的电场强度积分，得到球心处的总电场强度$E$。
将半球壳分割为一组平行的细圆环，每个圆环的半径为$r=R\sin \theta $，其中$\theta $是圆环中心到球心的连线与球的直径的夹角。
步骤 2：计算每个圆环的电荷元
每个圆环的电荷元为$q=8dS=8.2\pi {R}^{2}\sin \theta d\theta $，其中$dS$是圆环的面积元，$8$是电荷面密度。
步骤 3：计算每个圆环在球心处的电场强度
每个圆环在球心处的电场强度为$E=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}{({x}^{2}+{r}^{2})}^{2/3}}$，其中$x=R\cos \theta $是圆环中心到球心的距离，$r=R\sin \theta $是圆环的半径。
步骤 4：积分求解球心处的总电场强度
由于所有平行细圆环在球心处的电场强度方向相同，可以将所有带电圆环的电场强度积分，得到球心处的总电场强度$E$。