两无限长的同轴薄圆筒导体组成同轴电缆，其间充满磁导率为mu的均匀磁介质。两薄圆筒中流过的电流大小相等，方向相反。若同轴电缆的内外半径分别为R_1和R_2，则单位长度电缆内储存的磁能为[ ]A. (mu I^2)/(8pi^2) ( (1)/(R_1) - (1)/(R_2) )B. (mu I^2)/(8pi) ln (R_2)/(R_1)C. (mu I^2)/(8pi^2) ln (R_2)/(R_1)D. (mu I^2)/(4pi) ln (R_2)/(R_1)

本题考查的知识点是磁场能量的计算，解题思路是先根据安培环路定理求出两同轴薄圆筒导体间的磁场强度，再得到磁场能量密度，然后通过积分计算出单位长度电缆内储存的磁能。

1. 根据安培环路定理求磁场强度：
   • 安培环路定理的表达式为$\oint_{L}\vec{H}\cdot d\vec{l}=I_{enc}$，其中$\oint_{L}\vec{H}\cdot d\vec{l}$是磁场强度$\vec{H}$沿闭合回路$L$的线积分，$I_{enc}$是闭合回路$L$所包围的电流。
   • 对于两同轴薄圆筒导体，在两圆筒之间（$R_1 < r < R_2$），取半径为$r$、长度为$l$的同轴圆形回路$L$，由于磁场具有轴对称性，$\vec{H}$的方向沿圆周切线方向，且在回路上$\vec{H}$大小处处相等，则$\oint_{L}\vec{H}\cdot d\vec{l}=H\cdot 2\pi r$。
   • 该回路所包围的电流$I_{enc}=I$，由安培环路定理$H\cdot 2\pi r = I$，可得磁场强度$H=\frac{I}{2\pi r}$。
2. 求磁场能量密度：
   • 磁场能量密度的公式为$w_m=\frac{1}{2}\mu H^{2}$，将$H = \frac{I}{2\pi r}$代入可得$w_m=\frac{1}{2}\mu(\frac{I}{2\pi r})^{2}=\frac{\mu I^{2}}{8\pi^{2}r^{2}}$。
3. 计算单位长度电缆内储存的磁能：
   • 取长度为$l = 1$的一段电缆，在两圆筒之间取半径为$r$，厚度为$dr$，长度为$1$的薄圆柱壳，其体积$dV = 2\pi r\times1\times dr=2\pi rdr$。
   • 该薄圆柱壳内储存的磁能$dW_m=w_mdV$，将$w_m=\frac{\mu I^{2}}{8\pi^{2}r^{2}}$和$dV = 2\pi rdr$代入可得$dW_m=\frac{\mu I^{2}}{8\pi^{2}r^{2}}\times2\pi rdr=\frac{\mu I^{2}}{4\pi r}dr$。
   • 对$dW_m$从$R_1$到$R_2$积分，可得单位长度电缆内储存的磁能$W_m=\int_{R_1}^{R_2}\frac{\mu I^{2}}{4\pi r}dr$。
   • 根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln x + C$，则$W_m=\frac{\mu I^{2}}{4\pi}\int_{R_1}^{R_2}\frac{1}{r}dr=\frac{\mu I^{2}}{4\pi}[\ln r]_{R_1}^{R_2}=\frac{\mu I^{2}}{4\pi}(\ln R_2-\ln R_1)$。
   • 根据对数运算法则$\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$，所以$W_m=\frac{\mu I^{2}}{4\pi}\ln\frac{R_2}{R_1}$。