推断三星堆出土文物的年代. 由原子物理学可知, mathrm(C)^14 的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 N(t) 成正比, 设比例系数为 lambda, lambda > 0, 时间 t = 0 时 mathrm(C)^14 的含量为 N_0. 从三星堆祭祀坑提取的碳屑样品 mathrm(C)^14 的残余量约占原始含量的 69.15%, 已知 mathrm(C)^14 的半衰期是 5730 年, 结合其衰变规律, 试推断三星堆出土文物的年代. (已知 ln (1)/(0.6915) approx 0.369, ln 2 approx 0.693.)
推断三星堆出土文物的年代. 由原子物理学可知, $\mathrm{C}^{14}$ 的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 $N(t)$ 成正比, 设比例系数为 $\lambda$, $\lambda > 0$, 时间 $t = 0$ 时 $\mathrm{C}^{14}$ 的含量为 $N_0$. 从三星堆祭祀坑提取的碳屑样品 $\mathrm{C}^{14}$ 的残余量约占原始含量的 $69.15\%$, 已知 $\mathrm{C}^{14}$ 的半衰期是 $5730$ 年, 结合其衰变规律, 试推断三星堆出土文物的年代. (已知 $\ln \frac{1}{0.6915} \approx 0.369$, $\ln 2 \approx 0.693$.)
题目解答
答案
设 $C^{14}$ 的初始含量为 $N_0$，衰变常数为 $\lambda$。由半衰期公式 $N(T) = N_0 e^{-\lambda T}$，其中 $T = 5730$ 年，得 $\lambda = \frac{\ln 2}{5730}$。
已知残余量为原始量的 69.15%，即 $N(t) = 0.6915 N_0$，代入衰变公式得：
$e^{-\lambda t} = 0.6915 \implies -\lambda t = \ln 0.6915 = -\ln \left( \frac{1}{0.6915} \right)$
解得 $t = \frac{\ln \left( \frac{1}{0.6915} \right)}{\lambda} = \frac{5730 \ln \left( \frac{1}{0.6915} \right)}{\ln 2}$。
已知 $\ln \left( \frac{1}{0.6915} \right) \approx 0.369$，$\ln 2 \approx 0.693$，代入得：
$t \approx \frac{5730 \times 0.369}{0.693} \approx 3055 \text{ 年}$
答案： $\boxed{3055}$ 年