设在右半平面x >0中有一力场 [ F=(xy)/(f(x)), f(x), f(x) >0, ] f(x)为可微函数，且f(1)=sqrt(2)，则f(x)使质点由(2,1)移动到(1,5)场力所做的功W=(）。 A. 2sqrt(2)-sqrt(5)B. 3sqrt(2)-2sqrt(5)C. 4sqrt(2)-2sqrt(5)D. 5sqrt(2)-sqrt(5)

本题考查保守场中场力做功的计算，解题的关键在于判断力场是否为保守场，若为保守场则可通过势函数来计算场力所做的功。具体步骤如下：

1. 判断力场是否为保守场：
   • 对于力场$\mathbf{F}=\left\{\frac{xy}{f(x)}, f(x)\right\}$，若它是保守场，则存在势函数$\phi(x,y)$，使得$\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{xy}{f(x)}$，$\frac{\partial \phi}{\partial y}=f(x)$。
   • 对$\frac{\partial \phi}{\partial y}=f(x)$关于$y$积分，因为$f(x)$与$y$无关，所以$\phi(x,y)=\int f(x)dy=yf(x)+C$（$C$为常数）。
   • 再对$\phi(x,y)=yf(x)+C$关于$x$求偏导数，可得$\frac{\partial \phi}{\partial x}=yf^\prime(x)$。
   • 又因为$\frac{\partial \phi}{\partial x}=\frac{xy}{f(x)}$，所以$yf^\prime(x)=\frac{xy}{f(x)}$，由于$y\neq0$（在本题的积分路径上$y$有非零取值），两边同时除以$y$得到$f^\prime(x)=\frac{x}{f(x)}$。
2. 求解$f(x)$的表达式：
   • 由$f^\prime(x)=\frac{x}{f(x)}$，变形可得$f(x)f^\prime(x)=x$。
   • 两边同时积分$\int f(x)f^\prime(x)dx=\int xdx$。
   • 令$u = f(x)$，则$du=f^\prime(x)dx$，那么$\int f(x)f^\prime(x)dx=\int udu=\frac{1}{2}u^{2}+C_1=\frac{1}{2}f^{2}(x)+C_1$，而$\int xdx=\frac{1}{2}x^{2}+C_2$。
   • 所以$\frac{1}{2}f^{2}(x)=\frac{1}{2}x^{2}+C$，即$f^{2}(x)=x^{2}+2C$。
   • 已知$f(1)=\sqrt{2}$，将$x = 1$，$f(1)=\sqrt{2}$代入$f^{2}(x)=x^{2}+2C$中，可得$(\sqrt{2})^{2}=1^{2}+2C$，即$2 = 1 + 2C$，解得$C=\frac{1}{2}$。
   • 则$f^{2}(x)=x^{2}+1$，因为$f(x)>0$，所以$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$。
3. 确定势函数$\phi(x,y)$：
   • 把$f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$代入$\phi(x,y)=yf(x)+C$中，得到$\phi(x,y)=y\sqrt{x^{2}+1}$。
4. 计算场力所做的功$W$：
   • 根据保守场中场力做功的公式$W=\phi(x_2,y_2)-\phi(x_1,y_1)$，其中$(x_1,y_1)=(2,1)$，$(x_2,y_2)=(1,5)$。
   • 则$W=\phi(1,5)-\phi(2,1)$。
   • 先计算$\phi(1,5)=5\sqrt{1^{2}+1}=5\sqrt{2}$，$\phi(2,1)=1\times\sqrt{2^{2}+1}=\sqrt{5}$。
   • 所以$W = 5\sqrt{2}-\sqrt{5}$。