题目
计算(int )_(0)^1dx(int )_(1-x)^sqrt (1-{x^2)}dfrac (x+y)({x)^2+(y)^2}dy=-|||-dv=__________.
计算
__________.
题目解答
答案
解：∵
根据积分区域作图可看出是在第一象限的四分之一圆中，则跟圆域有关，因此我们可将其转化为极坐标系下的二重积分来计算，积分区域：
根据公式
,可知：
极坐标系中，区域
可表示为：
则二重积分可化为：
因此
综上所述，即为此题正解。
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目，积分区域为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $1-x \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$。这个区域是第一象限中的一部分，位于直线 $y = 1 - x$ 和圆 $x^2 + y^2 = 1$ 之间。
步骤 2：转换为极坐标系
为了简化计算，将积分区域转换为极坐标系。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。积分区域变为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta} \leq r \leq 1$。
步骤 3：计算二重积分
将原积分转换为极坐标系下的二重积分：
$$
\int_0^1 \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{x+y}{x^2+y^2} \, dy \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}^1 \frac{r\cos\theta + r\sin\theta}{r^2} \, r \, dr \, d\theta
$$
化简得：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}^1 (\cos\theta + \sin\theta) \, dr \, d\theta
$$
计算内层积分：
$$
\int_{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}^1 (\cos\theta + \sin\theta) \, dr = (\cos\theta + \sin\theta) \left(1 - \frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}\right) = \cos\theta + \sin\theta - 1
$$
计算外层积分：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta + \sin\theta - 1) \, d\theta = \left[\sin\theta - \cos\theta - \theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 - \frac{\pi}{2} - (0 - 1 - 0) = 2 - \frac{\pi}{2}
$$
根据题目，积分区域为 $0 \leq x \leq 1$ 和 $1-x \leq y \leq \sqrt{1-x^2}$。这个区域是第一象限中的一部分，位于直线 $y = 1 - x$ 和圆 $x^2 + y^2 = 1$ 之间。
步骤 2：转换为极坐标系
为了简化计算，将积分区域转换为极坐标系。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dx\,dy = r\,dr\,d\theta$。积分区域变为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta} \leq r \leq 1$。
步骤 3：计算二重积分
将原积分转换为极坐标系下的二重积分：
$$
\int_0^1 \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}} \frac{x+y}{x^2+y^2} \, dy \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}^1 \frac{r\cos\theta + r\sin\theta}{r^2} \, r \, dr \, d\theta
$$
化简得：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}^1 (\cos\theta + \sin\theta) \, dr \, d\theta
$$
计算内层积分：
$$
\int_{\frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}}^1 (\cos\theta + \sin\theta) \, dr = (\cos\theta + \sin\theta) \left(1 - \frac{1}{\cos\theta + \sin\theta}\right) = \cos\theta + \sin\theta - 1
$$
计算外层积分：
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta + \sin\theta - 1) \, d\theta = \left[\sin\theta - \cos\theta - \theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1 - 0 - \frac{\pi}{2} - (0 - 1 - 0) = 2 - \frac{\pi}{2}
$$