类似地，可求下列极限(1)lim_(ntoinfty)((1)/(n+ln1)+(1)/(n+ln2)+...+(1)/(n+ln n));(2)lim_(ntoinfty)((e)/(e^n)+1^(2)+(e^2)/(e^n)+2^(2)+...+(e^n)/(e^n)+n^(2));(3)lim_(ntoinfty)((1)/(sqrt(n^2)+1^(2))+(1)/(sqrt(n^2)+2^(2))+...+(1)/(sqrt(n^2)+n^(2))).(4)lim_(ntoinfty)[(n)/((n+1)^2)+(n)/((n+2)^2)+...+(n)/((n+n)^2)].

1. 第（1）题：考查夹逼定理的应用。当$n$很大时，$\ln k$相对于$n$可忽略，每项近似为$\frac{1}{n}$，总和趋近于$1$。
2. 第（2）题：通过等比数列求和和夹逼定理，将分母中的$e^n$主导项分离，转化为几何级数求和。
3. 第（3）题：转化为定积分（黎曼和），对应函数$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$在$[0,1]$上的积分。
4. 第（4）题：转化为定积分（黎曼和），对应函数$\frac{1}{(1+x)^2}$在$[0,1]$上的积分。

第（1）题

分析项的范围

当$n \to \infty$时，$\ln k \leq n$，故$n \leq n+\ln k \leq n+\ln n$，因此：
$\frac{1}{n+\ln k} \leq \frac{1}{n} \quad \text{且} \quad \frac{1}{n+\ln k} \geq \frac{1}{n+\ln n}.$

求和并应用夹逼定理

总和满足：
$\frac{n}{n+\ln n} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+\ln k} \leq \frac{n}{n}.$
当$n \to \infty$时，$\frac{n}{n+\ln n} \to 1$，故极限为$1$。

第（2）题

变形分母

分母$e^n + k^2$中，$e^n$主导，故：
$\frac{e^k}{e^n + k^2} = \frac{e^{k-n}}{1 + k^2 e^{-n}}.$

估计上下界

当$n$足够大时，$k^2 e^{-n} \leq n^2 e^{-n} \to 0$，故：
$\frac{e^{k-n}}{1 + k^2 e^{-n}} \leq e^{k-n} \quad \text{且} \quad \frac{e^{k-n}}{1 + k^2 e^{-n}} \geq \frac{e^{k-n}}{2}.$

求和并取极限

总和为：
$\sum_{k=1}^n e^{k-n} = e^{-n} \cdot \frac{e(e^n - 1)}{e - 1} \to \frac{e}{e - 1}.$

第（3）题

转换为黎曼和

将每一项写为：
$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \left( \frac{k}{n} \right)^2}}.$
总和对应积分：
$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \, dx = \ln(1 + \sqrt{2}).$

第（4）题

转换为黎曼和

将每一项变形为：
$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^2}.$
总和对应积分：
$\int_0^1 \frac{1}{(1 + x)^2} \, dx = \frac{1}{2}.$