列车在平直线路上以 20m/s (相当于 72km/h )的速度行驶;当制动时-|||-列车获得加速度 -0.4m/(s)^2. 问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在-|||-这段时间里行驶了多少路程?

考查要点：本题主要考查匀变速直线运动的运动学公式应用，以及通过积分法求解运动方程的能力。
解题核心思路：

1. 加速度与速度、位移的关系：加速度是速度对时间的导数，速度是位移对时间的导数。
2. 积分法求解运动方程：通过两次积分将加速度转化为速度和位移，并利用初始条件确定积分常数。
3. 求停车时间与位移：令速度为零求时间，代入位移方程计算总路程。

破题关键点：

• 正确建立微分方程：根据加速度定义写出二阶导数方程。
• 应用初始条件：确定积分常数时需代入初速度和初始位移。

步骤1：建立微分方程

已知加速度为 $a = -0.4 \, \text{m/s}^2$，根据加速度定义：
$\frac{d^2 s}{dt^2} = -0.4$

步骤2：第一次积分求速度

对加速度积分一次，得到速度函数：
$v(t) = \int \frac{d^2 s}{dt^2} \, dt = -0.4t + C_1$
初始条件：当 $t=0$ 时，$v=20 \, \text{m/s}$，代入得：
$20 = -0.4 \cdot 0 + C_1 \quad \Rightarrow \quad C_1 = 20$
因此速度函数为：
$v(t) = -0.4t + 20$

步骤3：第二次积分求位移

对速度函数积分，得到位移函数：
$s(t) = \int v(t) \, dt = \int (-0.4t + 20) \, dt = -0.2t^2 + 20t + C_2$
初始条件：当 $t=0$ 时，$s=0$，代入得：
$0 = -0.2 \cdot 0^2 + 20 \cdot 0 + C_2 \quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$
因此位移函数为：
$s(t) = -0.2t^2 + 20t$

步骤4：求停车时间

令速度 $v(t) = 0$，解得：
$0 = -0.4t + 20 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{20}{0.4} = 50 \, \text{s}$

步骤5：求制动路程

将 $t=50$ 代入位移函数：
$s(50) = -0.2 \cdot 50^2 + 20 \cdot 50 = -0.2 \cdot 2500 + 1000 = 500 \, \text{m}$