题目
12.设 f(x)= ^2),xgt 0 (x)^2,xleqslant 0 . 则f(x)在 x=0 点-|||-A. 不连续 B.无定义 C.连续但不可导 D.可导
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：检查函数在 x=0 点的连续性
函数在 x=0 点的左极限为 $\lim _{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^-}{x}^{2}=0$，右极限为 $\lim _{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^+}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{{x}^{2}}=0$。由于左极限和右极限相等，且等于函数在 x=0 点的值，因此函数在 x=0 点连续。
步骤 2：检查函数在 x=0 点的可导性
函数在 x=0 点的导数为 $f'(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{{x}^{2}}-0}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{{x}^{2}}=0$。因此，函数在 x=0 点可导。
函数在 x=0 点的左极限为 $\lim _{x\rightarrow 0^-}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^-}{x}^{2}=0$，右极限为 $\lim _{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim _{x\rightarrow 0^+}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{{x}^{2}}=0$。由于左极限和右极限相等，且等于函数在 x=0 点的值，因此函数在 x=0 点连续。
步骤 2：检查函数在 x=0 点的可导性
函数在 x=0 点的导数为 $f'(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\sin \dfrac {1}{{x}^{2}}-0}{x}=\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{{x}^{2}}=0$。因此，函数在 x=0 点可导。