m →v M如图所示，质量为M=1kg的足够长的长木板静止在足够长的水平面上，质量为m=2kg的小物块（可视为质点）从木板的最左端以v_(0)=3m/s的速度冲上木板，小物块和长木板最终都停止了运动。已知小物块与木板间的动摩擦因数mu _(1)=0.2。木板与水平面间的动摩擦因数mu _(2)=0.1，重力加速度g=10m/s^2。求：(1)小物块刚冲上木板时的加速度大小和方向；(2)小物块相对长木板滑行的最大距离；(3)小物块运动的总位移。

（1）小物块与木板之间的滑动摩擦力$f_{1}=\mu _{1}mg$，解得$f_{1}=4N$，
木板与地面之间的滑动摩擦力$f_{2}=\mu _{2}(m+M)g$，解得$f_{2}=3N$，
初始时，小物块与木板之间有相对运动，对小物块由牛顿第二定律$f_{1}=ma_{1}$，解得${a}_{1}=2{m/s}^{2}$，方向向左；
$(2)$对木板由牛顿第二定律$f_{1}-f_{2}=Ma_{2}$，解得${a}_{2}=1{m/s}^{2}$，方向向右，
小物块减速，木板加速，设时间$t_{1}$时共速，因为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
小物块与木板间的最大静摩擦力大于木板与地面间的最大静摩擦力，所以共速后两物体会保持相对静止，
则对小物块有$v_{1}=v_{0}-a_{1}t_{1}$，对木板$v_{1}=a_{2}t_{1}$，联立解得$t_{1}=1s$，
此时小物块前进的位移为${x}_{1}={v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$，
解得$x_{1}=2m$
木板前进的位移为${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$，解得$x_{2}=0.5m$
则物块相对木板滑动的最大距离为$\Delta L=x_{1}-x_{2}$，解得$\Delta L=1.5m$；
$(3)$共速后两物体相对静止一起向前做匀减速直线运动直至停下来，共速时$v_{1}=1m/s$，
设两物体共同减速阶段的加速度为$a_{3}$，
则由牛顿第二定律$\mu _{2}(M+m)g=\left(M+m\right)a_{3}$，
解得${a}_{3}=1{m/s}^{2}$，方向向左，
由匀变速运动规律可得共同减速的位移为${x}_{3}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{3}}$，解得$x_{3}=0.5m$
则小物块运动的总位移$x=x_{1}+x_{3}$，解得$x=2.5m$。
答：（1）小物块刚冲上木板时的加速度大小$2m/s^{2}$，方向向左；
$(2)$小物块相对长木板滑行的最大距离$1.5m$；
$(3)$小物块运动的总位移$2.5m$。