题目
试证静电平衡条件下导体表面单位面积受的力为 =dfrac ({sigma )^2}(2{varepsilon )_(0)}(e)_(n), 其中σ为面电荷密-|||-度,en为表面的外法线方向的单位矢量。此力方向与电荷的符号无关,总指向导体外部。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定导体表面的电场强度
在静电平衡条件下，导体内部的电场强度为零。因此，导体表面的电场强度完全由表面的面电荷密度σ产生。根据高斯定理，导体表面的电场强度为 $E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$，方向垂直于表面，指向导体外部。
步骤 2：计算单位面积上的力
导体表面单位面积上的力可以通过电场强度和面电荷密度的乘积来计算。单位面积上的力为 $f = \sigma E = \sigma \cdot \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} = \dfrac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$。由于电场强度的方向垂直于表面，指向导体外部，因此单位面积上的力也指向导体外部。
步骤 3：确定力的方向
由于单位面积上的力 $f = \dfrac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ 中的σ是面电荷密度的平方，因此力的方向与σ的正负无关，总是指向导体外部。以 $e_n$ 表示导体表面的外法线方向的单位矢量，即可得 $f = \dfrac{\sigma^2}{2\epsilon_0} e_n$。
在静电平衡条件下，导体内部的电场强度为零。因此，导体表面的电场强度完全由表面的面电荷密度σ产生。根据高斯定理，导体表面的电场强度为 $E = \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$，方向垂直于表面，指向导体外部。
步骤 2：计算单位面积上的力
导体表面单位面积上的力可以通过电场强度和面电荷密度的乘积来计算。单位面积上的力为 $f = \sigma E = \sigma \cdot \dfrac{\sigma}{2\epsilon_0} = \dfrac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$。由于电场强度的方向垂直于表面，指向导体外部，因此单位面积上的力也指向导体外部。
步骤 3：确定力的方向
由于单位面积上的力 $f = \dfrac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ 中的σ是面电荷密度的平方，因此力的方向与σ的正负无关，总是指向导体外部。以 $e_n$ 表示导体表面的外法线方向的单位矢量，即可得 $f = \dfrac{\sigma^2}{2\epsilon_0} e_n$。