题目
横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 U_0 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。（通解）
横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 $U_0$ 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。（通解）
题目解答
答案
根据分离变量法，电位分布可表示为：
\[
\phi(x, y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{n \pi y}{a}\right)
\]
其中，$ C_n = \frac{4 U_0}{n \pi \sinh\left(\frac{n \pi b}{a}\right)} $（$ n $ 为奇数），$ C_n = 0 $（$ n $ 为偶数）。
最终结果为：
\[
\phi(x, y) = \frac{4 U_0}{\pi} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{(2m+1) \sinh\left(\frac{(2m+1) \pi b}{a}\right)} \sin\left(\frac{(2m+1) \pi x}{a}\right) \sinh\left(\frac{(2m+1) \pi y}{a}\right)
\]