题目
239 已知微分方程 ^a+by'+y=0 的每个解都在区间 (0,+infty ) 上有界,则实数b的-|||-取值范围是-|||-(A) [ 0,+infty ), (B) (-infty ,0] .-|||-(C) (-infty ,4] . (D) (-infty ,+infty ),
题目解答
答案
解析
步骤 1：特征方程
微分方程 ${y}^{n}+by'+y=0$ 的特征方程为 ${r}^{2}+br+1=0$。特征方程的根决定了微分方程解的性质。
步骤 2：求特征根
特征方程 ${r}^{2}+br+1=0$ 的根为 ${r}_{1,2}=\dfrac {-b\pm \sqrt {{b}^{2}-4}}{2}$。根据特征根的性质，可以判断微分方程解的有界性。
步骤 3：分析特征根的性质
1) 当 ${b}^{2}\lt 4$ 时，特征根为复数，原方程通解为 $y={e}^{-\dfrac {b}{2}x}({C}_{1}\cos \dfrac {\sqrt {4-{b}^{2}}}{2}x+{C}_{2}\sin \dfrac {\sqrt {4-{b}^{2}}}{2}x)$，解在 $(0,+\infty )$ 上有界。
2) 当 ${b}^{2}=4$ 时，特征根为实数且相等，原方程通解为 $y={e}^{-\dfrac {b}{2}x}({C}_{1}+{C}_{2}x)$，解在 $(0,+\infty )$ 上有界。
3) 当 ${b}^{2}\gt 4$ 时，特征根为实数且不相等，原方程通解为 $y={C}_{1}{e}^{(\dfrac {-b+\sqrt {{b}^{2}-4}}{2})x}+{C}_{2}{e}^{(\dfrac {-b-\sqrt {{b}^{2}-4}}{2})x}$，解在 $(0,+\infty )$ 上有界当且仅当 $b\geqslant 0$。
微分方程 ${y}^{n}+by'+y=0$ 的特征方程为 ${r}^{2}+br+1=0$。特征方程的根决定了微分方程解的性质。
步骤 2：求特征根
特征方程 ${r}^{2}+br+1=0$ 的根为 ${r}_{1,2}=\dfrac {-b\pm \sqrt {{b}^{2}-4}}{2}$。根据特征根的性质，可以判断微分方程解的有界性。
步骤 3：分析特征根的性质
1) 当 ${b}^{2}\lt 4$ 时，特征根为复数，原方程通解为 $y={e}^{-\dfrac {b}{2}x}({C}_{1}\cos \dfrac {\sqrt {4-{b}^{2}}}{2}x+{C}_{2}\sin \dfrac {\sqrt {4-{b}^{2}}}{2}x)$，解在 $(0,+\infty )$ 上有界。
2) 当 ${b}^{2}=4$ 时，特征根为实数且相等，原方程通解为 $y={e}^{-\dfrac {b}{2}x}({C}_{1}+{C}_{2}x)$，解在 $(0,+\infty )$ 上有界。
3) 当 ${b}^{2}\gt 4$ 时，特征根为实数且不相等，原方程通解为 $y={C}_{1}{e}^{(\dfrac {-b+\sqrt {{b}^{2}-4}}{2})x}+{C}_{2}{e}^{(\dfrac {-b-\sqrt {{b}^{2}-4}}{2})x}$，解在 $(0,+\infty )$ 上有界当且仅当 $b\geqslant 0$。