题目
计算题 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形,沿其上半部分均匀分布有电荷-|||-+0 ,沿其下半部分均匀分布有电荷 -0 ,如图所示。试求圆心O处的电场强度。-|||-y-|||-R-|||-ϕ-|||-0 x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷元
在半圆的任意位置取一个电荷元，其电荷量为 $dq$。由于电荷均匀分布，电荷元的电荷量可以表示为 $dq = \lambda dl$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，$dl$ 是电荷元的长度。对于半圆，$dl = R d\phi$，其中 $R$ 是半圆的半径，$\phi$ 是电荷元相对于圆心的角位置。因此，$dq = \lambda R d\phi$。
步骤 2：计算电荷元在圆心处产生的电场
电荷元在圆心处产生的电场大小为 $dE = \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$。将 $dq = \lambda R d\phi$ 代入，得到 $dE = \frac{\lambda R d\phi}{4\pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{\lambda d\phi}{4\pi \varepsilon_0 R}$。电荷元在圆心处产生的电场方向与电荷元到圆心的连线方向相同，因此可以分解为 $dE_x$ 和 $dE_y$ 两个分量，其中 $dE_x = -dE \cos \phi$，$dE_y = -dE \sin \phi$。
步骤 3：计算总电场
对所有电荷元在圆心处产生的电场分量进行积分，得到总电场。由于电荷元在圆心处产生的电场的 $x$ 分量相互抵消，因此总电场的 $x$ 分量为零。总电场的 $y$ 分量为 ${E_y} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} \int_{0}^{\pi} \sin \phi d\phi = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [-\cos \phi]_{0}^{\pi} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [1 - (-1)] = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}$。因此，总电场为 $\overrightarrow{E} = E_y \overrightarrow{j} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R} \overrightarrow{j}$。
在半圆的任意位置取一个电荷元，其电荷量为 $dq$。由于电荷均匀分布，电荷元的电荷量可以表示为 $dq = \lambda dl$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，$dl$ 是电荷元的长度。对于半圆，$dl = R d\phi$，其中 $R$ 是半圆的半径，$\phi$ 是电荷元相对于圆心的角位置。因此，$dq = \lambda R d\phi$。
步骤 2：计算电荷元在圆心处产生的电场
电荷元在圆心处产生的电场大小为 $dE = \frac{dq}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$。将 $dq = \lambda R d\phi$ 代入，得到 $dE = \frac{\lambda R d\phi}{4\pi \varepsilon_0 R^2} = \frac{\lambda d\phi}{4\pi \varepsilon_0 R}$。电荷元在圆心处产生的电场方向与电荷元到圆心的连线方向相同，因此可以分解为 $dE_x$ 和 $dE_y$ 两个分量，其中 $dE_x = -dE \cos \phi$，$dE_y = -dE \sin \phi$。
步骤 3：计算总电场
对所有电荷元在圆心处产生的电场分量进行积分，得到总电场。由于电荷元在圆心处产生的电场的 $x$ 分量相互抵消，因此总电场的 $x$ 分量为零。总电场的 $y$ 分量为 ${E_y} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} \int_{0}^{\pi} \sin \phi d\phi = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [-\cos \phi]_{0}^{\pi} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [1 - (-1)] = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}$。因此，总电场为 $\overrightarrow{E} = E_y \overrightarrow{j} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R} \overrightarrow{j}$。