3.3 求图示各分布力的合力和对于点A之矩。-|||-q2-|||-q1-|||-B-|||-A A A-|||-B B.-|||-7-|||-q-|||-l 1-|||-C-|||-(a) (b) (c)-|||-(b)

考查要点：本题主要考查分布力的合力计算及其对指定点的矩。需要掌握均布载荷、三角形载荷、梯形载荷的合力计算方法，以及如何确定合力作用点位置，进而计算力矩。

解题核心思路：

1. 确定载荷类型：根据图形判断载荷分布形式（如均布、三角形、梯形）。
2. 计算合力：通过积分或几何法求出总合力大小。
3. 确定合力作用点：利用对称性或积分法找到合力作用线位置。
4. 计算力矩：用合力乘以作用点到指定点的距离，并注意符号方向。

破题关键点：

• 均布载荷的合力为$q \cdot l$，作用点在中点。
• 三角形载荷的合力为$\frac{1}{2} q \cdot l$，作用点距底边$\frac{l}{3}$。
• 梯形载荷的合力为$\frac{1}{2}(q_1 + q_2) \cdot l$，需分段积分求矩。

(a) 均布载荷$q$作用在长度$a$的梁上

合力计算

均布载荷的合力为：
$F_R = q \cdot a$
方向与载荷方向一致（向下）。

对点A的矩

合力作用点位于中点，距A点距离为$\frac{a}{2}$，力矩为：
$M_A = -F_R \cdot \frac{a}{2} = -\frac{1}{2} q a^2$
（负号表示顺时针方向）

(b) 三角形载荷$q$作用在长度$l$的梁上

合力计算

三角形载荷的合力为：
$F_R = \frac{1}{2} q \cdot l$
方向向下。

对点A的矩

合力作用点距A点$\frac{l}{3}$，力矩为：
$M_A = -F_R \cdot \frac{l}{3} = -\frac{1}{6} q l^2$

(c) 梯形载荷$q_1$到$q_2$作用在长度$l$的梁上

合力计算

梯形载荷的合力为：
$F_R = \frac{1}{2}(q_1 + q_2) \cdot l$

对点A的矩

分段积分计算矩：
$M_A = -\int_0^l \left(q_1 + \frac{q_2 - q_1}{l} x \right) x \, dx = -\frac{1}{6}(q_1 + 2q_2) l^2$