题目

一列平面简谐波的波动方程为 y = 5cos[2pi(t - (x)/(100))] m，则这列波的波长为 _______ m。

一列平面简谐波的波动方程为 $y = 5\cos\left[2\pi\left(t - \frac{x}{100}\right)\right]$ m，则这列波的波长为 _______ m。

题目解答

答案

根据题目给出的波动方程 $ y = 5 \cos \left[ 2\pi \left( t - \frac{x}{100} \right) \right] $，可以将其与标准形式 $ y = A \cos(\omega t - kx) $ 对比。 1. 标准形式中，$\omega$ 是角频率，$k$ 是波数，且 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$。 2. 将给定方程改写为 $ y = 5 \cos \left( 2\pi t - \frac{2\pi x}{100} \right) $，可得 $\omega = 2\pi$，$k = \frac{2\pi}{100} = \frac{\pi}{50}$。 3. 根据 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，可解出波长 $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{50}} = 100$ m。 因此，这列波的波长为 $\boxed{100}$ m。

解析

本题考查平面简谐波波动方程的知识以及通过对比标准形式来求解波长的思路。
解题思路如下：

  1. 首先明确平面简谐波波动方程的标准形式为 $y = A \cos(\omega t - kx)$，其中 $\omega$ 是角频率，$k$ 是波数，且波数与波长的关系为 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$。
  2. 然后将题目中给定的波动方程 $y = 5\cos\left[2\pi\left(t - \frac{x}{100}\right)\right]$ 进行改写，使其形式与标准形式一致。改写过程如下：
    • 原方程 $y = 5\cos\left[2\pi\left(t - \frac{x}{100}\right)\right]$ 可变形为 $y = 5\cos\left(2\pi t - \frac{2\pi x}{100}\right)$。
    • 对比标准形式 $y = A \cos(\omega t - kx)$，可得 $\omega = 2\pi$，$k = \frac{2\pi}{100}$。对 $k$ 进一步化简可得 $k = \frac{\pi}{50}$。
  3. 最后根据波数与波长的关系 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，求解波长 $\lambda$。求解过程如下：
    • 由 $k = \frac{2\pi}{\lambda}$，可得 $\lambda = \frac{2\pi}{k}$。
    • 将 $k = \frac{\pi}{50}$ 代入上式，可得 $\lambda = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{50}}$。
    • 根据分数除法法则，除以一个分数等于乘以它的倒数，所以 $\lambda = 2\pi\times\frac{50}{\pi}$。
    • 约去 $\pi$，可得 $\lambda = 100$ m。