设函数 f(x) 连续，则 (d)/(dx) int_(0)^x tf(x^2-t^2), dt=A. xf(x^2)B. -xf(x^2)C. 2xf(x^2)D. -2xf(x^2)

本题考查变上限积分求导以及换元积分法的知识。解题的关键思路是先通过换元法将积分变量进行变换，然后再利用变上限积分求导法则进行求导。

1. 换元：
   令$u = x^{2}-t^{2}$，对$u$求关于$t$的导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$du=-2t\,dt$，即$t\,dt=-\frac{1}{2}du$。
   当$t = 0$时，$u = x^{2}-0^{2}=x^{2}$；当$t = x$时，$u = x^{2}-x^{2}=0$。
   将上述换元结果代入原式$\int_{0}^{x} tf(x^{2}-t^{2})\, dt$，可得：
   $\int_{0}^{x} tf(x^{2}-t^{2})\, dt=-\frac{1}{2}\int_{x^{2}}^{0} f(u)\, du$
   根据定积分的性质$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$，进一步化简为$\frac{1}{2}\int_{0}^{x^{2}} f(u)\, du$。
2. 求导：
   设$F(u)$是$f(u)$的一个原函数，即$F^\prime(u)=f(u)$，那么$\int_{0}^{x^{2}} f(u)\, du=F(x^{2})-F(0)$。
   所以$\frac{1}{2}\int_{0}^{x^{2}} f(u)\, du=\frac{1}{2}[F(x^{2})-F(0)]$。
   对$\frac{1}{2}[F(x^{2})-F(0)]$求关于$x$的导数，根据复合函数求导法则$(F(g(x)))^\prime=F^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，$F(0)$为常数，其导数为$0$，可得：
   $\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}(F(x^{2})-F(0))\right]=\frac{1}{2}F^\prime(x^{2})\cdot 2x$
   因为$F^\prime(u)=f(u)$，所以$F^\prime(x^{2})=f(x^{2})$，则$\frac{1}{2}F^\prime(x^{2})\cdot 2x = xf(x^{2})$。