题目
二次型 ((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=2({x)_(1)}^2+2({x)_(2)}^2+2({x)_(3)}^2-2(x)_(2)(x)_(3) 的秩为-|||-3.-|||-A 对-|||-B 错
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出二次型的矩阵表示
二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{3}}^{2}-2{x}_{2}{x}_{3}$ 可以表示为矩阵形式 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，$A$ 是二次型的矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的秩
矩阵 $A$ 的秩是矩阵 $A$ 的行（或列）向量组的秩，即矩阵 $A$ 的行（或列）向量组中线性无关的向量个数。计算矩阵 $A$ 的秩，可以通过计算矩阵 $A$ 的行列式是否为零来判断。如果行列式不为零，则矩阵 $A$ 的秩为矩阵的阶数，即 $3$。计算矩阵 $A$ 的行列式：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = 2 \cdot (4 - 1) = 2 \cdot 3 = 6
$$
因为 $\det(A) \neq 0$，所以矩阵 $A$ 的秩为 $3$。
步骤 3：判断二次型的秩
二次型的秩等于其矩阵的秩。因为矩阵 $A$ 的秩为 $3$，所以二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{3}}^{2}-2{x}_{2}{x}_{3}$ 的秩为 $3$。
二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{3}}^{2}-2{x}_{2}{x}_{3}$ 可以表示为矩阵形式 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，$A$ 是二次型的矩阵。根据二次型的系数，可以得到矩阵 $A$ 为：
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的秩
矩阵 $A$ 的秩是矩阵 $A$ 的行（或列）向量组的秩，即矩阵 $A$ 的行（或列）向量组中线性无关的向量个数。计算矩阵 $A$ 的秩，可以通过计算矩阵 $A$ 的行列式是否为零来判断。如果行列式不为零，则矩阵 $A$ 的秩为矩阵的阶数，即 $3$。计算矩阵 $A$ 的行列式：
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2
\end{vmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = 2 \cdot (4 - 1) = 2 \cdot 3 = 6
$$
因为 $\det(A) \neq 0$，所以矩阵 $A$ 的秩为 $3$。
步骤 3：判断二次型的秩
二次型的秩等于其矩阵的秩。因为矩阵 $A$ 的秩为 $3$，所以二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{3}}^{2}-2{x}_{2}{x}_{3}$ 的秩为 $3$。