题目
C工-|||-1 a-|||-A-|||-B b-|||-A如图所示，两根平行的光滑金属导轨放在水平面上，导轨间距为L=0.4m,弯曲部分是半径为R=0.45m的四分之一圆弧与水平导轨相连，水平导轨足够长且处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小B=1.0T。导轨上端通过电键S连接电容器，其电容C=2.5F，在水平导轨上距磁场左边界AA'较远处垂直放置一个质量为mb=0.1kg、电阻为Rb=0.2Ω的金属棒b。断开电键S，将质量为ma=0.2kg、电阻为Ra=0.12Ω的金属棒a从圆弧顶端由静止释放，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，最终两棒均做匀速运动。已知运动中两金属棒不相撞，整个导轨电阻不计，g=10m/s2。求：（1）金属棒a刚到达圆弧底端AA'时，受到轨道的支持力大小；（2）金属棒匀速运动前，a棒上产生的焦耳热；（3）取走金属棒b,闭合电键S，使a棒仍从圆弧顶端由静止滑下，求a棒最终速度。
如图所示，两根平行的光滑金属导轨放在水平面上，导轨间距为L=0.4m,弯曲部分是半径为R=0.45m的四分之一圆弧与水平导轨相连，水平导轨足够长且处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小B=1.0T。导轨上端通过电键S连接电容器，其电容C=2.5F，在水平导轨上距磁场左边界AA'较远处垂直放置一个质量为mb=0.1kg、电阻为Rb=0.2Ω的金属棒b。断开电键S，将质量为ma=0.2kg、电阻为Ra=0.12Ω的金属棒a从圆弧顶端由静止释放，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，最终两棒均做匀速运动。已知运动中两金属棒不相撞，整个导轨电阻不计，g=10m/s2。求：（1）金属棒a刚到达圆弧底端AA'时，受到轨道的支持力大小；
（2）金属棒匀速运动前，a棒上产生的焦耳热；
（3）取走金属棒b,闭合电键S，使a棒仍从圆弧顶端由静止滑下，求a棒最终速度。
题目解答
答案
解：（1）从金属棒a刚到达圆弧底端AA'整个过程，根据动能定理有：${m_a}gR=\frac{1}{2}{m_a}v_0^2$
解得金属棒a刚进入磁场的速度为v0=$\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.45}m/s$=3m/s
金属棒a刚到达圆弧底端处，由牛顿第二定律$N-{m_a}g={m_a}\frac{v_0^2}{R}$
解得
N=6N
（2）金属棒匀速运动前，金属棒a、b组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，则有：mav0=（ma+mb）v
根据能量守恒有：$Q=\frac{1}{2}{m_a}v_0^2-\frac{1}{2}({m_a}+{m_b}){v^2}$
根据：${Q_a}=\frac{R_a}{{R_a}+{R_b}}Q$
解得a棒上产生的焦耳热为
Qa=0.1J
（3）取水平向右为正方向，对金属棒a根据动量定理：-BIL•Δt=maΔv
而q=CU=CBLva
$q=\sum{I⋅\Delta t}$$\sum \Delta v={v_a}-{v_0}$
解得va=1m/s
答：（1）金属棒a刚到达圆弧底端AA'时，受到轨道的支持力大小为6N；
（2）金属棒匀速运动前，a棒上产生的焦耳热为0.1J；
（3）取走金属棒b,闭合电键S，使a棒仍从圆弧顶端由静止滑下，a棒最终速度为1m/s。
解得金属棒a刚进入磁场的速度为v0=$\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.45}m/s$=3m/s
金属棒a刚到达圆弧底端处，由牛顿第二定律$N-{m_a}g={m_a}\frac{v_0^2}{R}$
解得
N=6N
（2）金属棒匀速运动前，金属棒a、b组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，则有：mav0=（ma+mb）v
根据能量守恒有：$Q=\frac{1}{2}{m_a}v_0^2-\frac{1}{2}({m_a}+{m_b}){v^2}$
根据：${Q_a}=\frac{R_a}{{R_a}+{R_b}}Q$
解得a棒上产生的焦耳热为
Qa=0.1J
（3）取水平向右为正方向，对金属棒a根据动量定理：-BIL•Δt=maΔv
而q=CU=CBLva
$q=\sum{I⋅\Delta t}$$\sum \Delta v={v_a}-{v_0}$
解得va=1m/s
答：（1）金属棒a刚到达圆弧底端AA'时，受到轨道的支持力大小为6N；
（2）金属棒匀速运动前，a棒上产生的焦耳热为0.1J；
（3）取走金属棒b,闭合电键S，使a棒仍从圆弧顶端由静止滑下，a棒最终速度为1m/s。
解析
步骤 1：金属棒a刚到达圆弧底端AA'时的动能
金属棒a从圆弧顶端由静止释放，到达圆弧底端AA'时，根据动能定理，重力势能转化为动能，即${m_a}gR=\frac{1}{2}{m_a}v_0^2$，其中$R=0.45m$，$g=10m/s^2$，$m_a=0.2kg$。解得$v_0=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.45}m/s=3m/s$。
步骤 2：金属棒a刚到达圆弧底端AA'时的轨道支持力
金属棒a刚到达圆弧底端AA'时，由牛顿第二定律$N-{m_a}g={m_a}\frac{v_0^2}{R}$，其中$N$为轨道支持力，$m_a=0.2kg$，$v_0=3m/s$，$R=0.45m$。解得$N=6N$。
步骤 3：金属棒匀速运动前，a棒上产生的焦耳热
金属棒匀速运动前，金属棒a、b组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，则有：$m_av_0=（m_a+m_b）v$，其中$m_a=0.2kg$，$m_b=0.1kg$，$v_0=3m/s$。解得$v=2m/s$。根据能量守恒有：$Q=\frac{1}{2}{m_a}v_0^2-\frac{1}{2}({m_a}+{m_b}){v^2}$，其中$Q$为焦耳热。根据：${Q_a}=\frac{R_a}{{R_a}+{R_b}}Q$，其中$R_a=0.12Ω$，$R_b=0.2Ω$。解得a棒上产生的焦耳热为$Q_a=0.1J$。
步骤 4：取走金属棒b,闭合电键S，使a棒仍从圆弧顶端由静止滑下，求a棒最终速度
取水平向右为正方向，对金属棒a根据动量定理：$-BIL•Δt=m_aΔv$，其中$B=1.0T$，$L=0.4m$，$m_a=0.2kg$。而$q=CU=CBLv_a$，其中$C=2.5F$。$q=\sum{I⋅\Delta t}$，$\sum \Delta v={v_a}-{v_0}$。解得$v_a=1m/s$。
金属棒a从圆弧顶端由静止释放，到达圆弧底端AA'时，根据动能定理，重力势能转化为动能，即${m_a}gR=\frac{1}{2}{m_a}v_0^2$，其中$R=0.45m$，$g=10m/s^2$，$m_a=0.2kg$。解得$v_0=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.45}m/s=3m/s$。
步骤 2：金属棒a刚到达圆弧底端AA'时的轨道支持力
金属棒a刚到达圆弧底端AA'时，由牛顿第二定律$N-{m_a}g={m_a}\frac{v_0^2}{R}$，其中$N$为轨道支持力，$m_a=0.2kg$，$v_0=3m/s$，$R=0.45m$。解得$N=6N$。
步骤 3：金属棒匀速运动前，a棒上产生的焦耳热
金属棒匀速运动前，金属棒a、b组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，则有：$m_av_0=（m_a+m_b）v$，其中$m_a=0.2kg$，$m_b=0.1kg$，$v_0=3m/s$。解得$v=2m/s$。根据能量守恒有：$Q=\frac{1}{2}{m_a}v_0^2-\frac{1}{2}({m_a}+{m_b}){v^2}$，其中$Q$为焦耳热。根据：${Q_a}=\frac{R_a}{{R_a}+{R_b}}Q$，其中$R_a=0.12Ω$，$R_b=0.2Ω$。解得a棒上产生的焦耳热为$Q_a=0.1J$。
步骤 4：取走金属棒b,闭合电键S，使a棒仍从圆弧顶端由静止滑下，求a棒最终速度
取水平向右为正方向，对金属棒a根据动量定理：$-BIL•Δt=m_aΔv$，其中$B=1.0T$，$L=0.4m$，$m_a=0.2kg$。而$q=CU=CBLv_a$，其中$C=2.5F$。$q=\sum{I⋅\Delta t}$，$\sum \Delta v={v_a}-{v_0}$。解得$v_a=1m/s$。