质量为M、半径为R的匀质圆盘,可绕通过中心垂直于盘面的光滑轴在水平面内转-|||-动,圆盘原来处于静止状态。现有一质量为m、速度为v的子弹,沿圆周切线方向射入圆盘-|||-边缘,那么子弹嵌入圆盘后,(1)圆盘与子弹一起转动的角速度为多少?(2)圆盘和子弹系统-|||-损失的机械能为多少?

考查要点：本题主要考查角动量守恒定律和机械能守恒的应用，涉及刚体转动和碰撞问题。

解题核心思路：

1. 角动量守恒：系统所受外力对轴的力矩为零，因此碰撞前后系统的总角动量守恒。
2. 转动惯量计算：圆盘和子弹组成的系统总转动惯量为两者转动惯量之和。
3. 机械能损失：碰撞前后动能的差值即为系统损失的机械能。

破题关键点：

• 确定碰撞前后的角动量表达式，注意子弹的平动动能转化为系统的转动动能。
• 正确计算转动惯量，区分圆盘和子弹的转动惯量。

第（1）题：求角速度 $\omega$

系统角动量守恒

碰撞前，圆盘静止，子弹的角动量为：
$L_0 = m v R$
碰撞后，系统总转动惯量为：
$I = \frac{1}{2} M R^2 + m R^2$
根据角动量守恒 $L_0 = I \omega$，得：
$\omega = \frac{m v R}{\left( \frac{1}{2} M R^2 + m R^2 \right)} = \frac{m v}{\left( \frac{M}{2} + m \right) R}$

第（2）题：求系统损失的机械能 $\Delta E$

碰撞前后的动能差

碰撞前系统动能为子弹的动能：
$E_{\text{初}} = \frac{1}{2} m v^2$
碰撞后系统动能为转动动能：
$E_{\text{末}} = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} M R^2 + m R^2 \right) \left( \frac{m v}{\left( \frac{M}{2} + m \right) R} \right)^2$
化简后：
$\Delta E = E_{\text{初}} - E_{\text{末}} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{m^2 v^2}{2 \left( \frac{M}{2} + m \right)}$