题目

内、外半径分别为R1和R1的长直圆筒导体 ( 长度可近似看做无限长 )，其中通有电流R1，并且电流在圆筒内均匀分布，试求圆筒导体所在空间中的磁感应强度的分布。

内、外半径分别为和的长直圆筒导体 ( 长度可近似看做无限长 )，其中通有电流，并且电流在圆筒内均匀分布，试求圆筒导体所在空间中的磁感应强度的分布。

题目解答

答案

解：由于圆筒导体的电流在圆筒内均匀分布，因此可以将圆筒导体看做由许多小电流元组成的，每个小电流元的电流为，长度为。

在圆筒导体内部一点处，由于圆筒导体的电流在圆筒内均匀分布，因此可以将圆筒分成很多小部分，每一小部分产生的磁感应强度矢量的大小相等，方向垂直于小部分的线元，且有相同的方向。

考虑一段线元，其产生的磁感应强度矢量大小为：

圆筒导体的电流方向是沿着圆筒的，因此在圆筒轴线方向上的磁感应强度为 0。在圆筒半径方向上，由于圆筒内部的电流方向相同，因此所有小电流元在圆心处产生的磁感应强度矢量的方向相同。

考虑一圆筒半径方向上的小面元，其产生的磁感应强度矢量大小为：

其中，为小面元所在平面与圆筒轴线的夹角。

在圆筒外部一点处，由于圆筒导体内部的电流方向相同，因此所有线元在点处产生的磁感应强度矢量 的方向相同。

考虑一个在圆筒外部的小线元，其产生的磁感应强度矢量大小为：

综上所述，在圆筒内部一点处，圆筒导体所在空间中的磁感应强度的分布为：

在圆筒半径方向上，磁感应强度大小与点到圆筒轴线的距离成反比关系，与圆筒长度、电流强度、半径无关。

在圆筒外部一点处，圆筒导体所在空间中的磁感应强度的分布为：

在圆筒外部一点处，磁感应强度大小与点到圆筒外表面的距离成反比关系，与圆筒长度、电流强度、外半径无关。

解析

本题考察长直圆筒导体中电流产生的磁场分布，需应用安培环路定理。解题核心在于：

  1. 划分空间区域：根据电流分布，空间分为圆筒内部（r < R1）、圆筒内部（R1 ≤ r ≤ R2）和圆筒外部（r > R2）。
  2. 对称性分析：磁场方向与电流方向符合右手螺旋定则，环路上的B大小恒定，方向切线方向。
  3. 分区域计算：通过安培环路积分计算各区域的磁感应强度，注意包围电流的计算。

区域划分与电流分布

  • 圆筒内部（r < R1）：无电流通过，磁感应强度为0。
  • 圆筒内部（R1 ≤ r ≤ R2）：电流密度均匀，需计算部分电流。
  • 圆筒外部（r > R2）：包围全部电流，与无限长直导线磁场相同。

各区域磁场计算

圆筒内部（r < R1）

  • 闭合回路包围电流为0，故：
    $B \cdot 2\pi r = 0 \implies B = 0$

圆筒内部（R1 ≤ r ≤ R2）

  1. 电流密度计算：
    总电流$I$均匀分布在圆筒横截面（面积$S = \pi(R_2^2 - R_1^2)$），电流密度：
    $J = \frac{I}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}$
  2. 包围电流计算：
    半径$r$处回路包围的电流为：
    $I_{\text{enc}} = J \cdot \pi(r^2 - R_1^2) = \frac{I(r^2 - R_1^2)}{R_2^2 - R_1^2}$
  3. 安培环路积分：
    $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}} \implies B = \frac{\mu_0 I(r^2 - R_1^2)}{2\pi r(R_2^2 - R_1^2)}$

圆筒外部（r > R2）

  • 包围全部电流$I$，与无限长直导线相同：
    $B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \implies B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$