题目

设一个质点在点(x,y)处受到力(x,y)的作用,点(x,y)沿椭圆(x,y)按逆时针方向移动到点(x,y),求力(x,y)所作的功(x,y).

设一个质点在点 $(x,y)$ 处受到力 $f=-xi-yj$ 的作用,点 $A(3,0)$ 沿椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 按逆时针方向移动到点 $B(0,2)$ ,求力 $f$ 所作的功 $W$ .

题目解答

答案

已知力 $f=-xi-yj$ ，即 $F(x,y)=(-x,-y)$ .

确定曲线积分路径：

点 $A(3,0)$ 沿椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 按逆时针方向移动到点 $B(0,2)$ .

计算功 $W$ ：

功 $W=\int_L^{ }F\cdot dr$ ，其中 $dr=(dx,dy)$ .

则 $W=\int_L^{ }-xdx-ydy$ ，令 $P=-x，Q=-y，\frac{\partial Q}{\partial x}=0，\frac{\partial P}{\partial y}=0$ ，所以积分与路径无关.

由于椭圆方程为 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ ，参数方程可设为 $x=3\cos t，y=2\sin t$ ， $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ ， $dx=-3\sin tdt，dy=2\cos tdt$ .

进行曲线积分：

$W=\int_L^{ }-xdx-ydy=$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-3\cos t)\cdot(-3\sin tdt)-(2\sin t)\cdot(2\cos tdt)$ $=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(9\cos t\sin t-4\sin t\cos t)dt$ $=\int_0^{\frac{\pi}{2}}5\sin t\cos tdt$

令 $u=\sin t$ ，则 $du=\cos tdt$ ，当 $t=0$ 时， $u=0$ ，当 $t=\frac{\pi}{2}$ 时， $u=1$ .

则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}5\sin t\cos tdt=\int_{0}^{1}5udu=\frac{5}{2}u^{2}\big|_{0}^{1}=\frac{5}{2}$ 故答案为： $\frac{5}{2}$ .