题目
22.若一个电子的动能等于它的静能,试求:-|||-(1)该电子的速度为多大?-|||-(2)其相应的德布罗意波长是多少?(考虑相对论效应)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算电子的相对论质量
根据相对论知识，电子的总能量 $E$ 可以表示为 $E = mc^2$，其中 $m$ 是电子的相对论质量，$c$ 是光速。电子的静能 $E_0$ 可以表示为 $E_0 = m_0c^2$，其中 $m_0$ 是电子的静质量。根据题意，电子的动能 $E_k$ 等于它的静能，即 $E_k = E_0$。因此，电子的总能量 $E$ 可以表示为 $E = E_k + E_0 = 2E_0$。由此可以得到电子的相对论质量 $m$ 为 $m = \frac{2E_0}{c^2} = 2m_0$。
步骤 2：计算电子的速度
根据相对论质量公式 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，可以得到 $\frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$。将 $m = 2m_0$ 代入，可以得到 $\frac{2m_0}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，即 $2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$。解这个方程，可以得到 $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$。
步骤 3：计算电子的德布罗意波长
根据德布罗意波长公式 $\lambda = \frac{h}{p}$，其中 $h$ 是普朗克常数，$p$ 是电子的动量。电子的动量 $p$ 可以表示为 $p = \sqrt{2m_0E_k}$。将 $E_k = E_0 = m_0c^2$ 代入，可以得到 $p = \sqrt{2m_0m_0c^2} = \sqrt{2}m_0c$。因此，电子的德布罗意波长 $\lambda$ 可以表示为 $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2}m_0c}$。将 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$，$m_0 = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ 代入，可以得到 $\lambda = 1.4 \times 10^{-12} \text{ m}$。
根据相对论知识，电子的总能量 $E$ 可以表示为 $E = mc^2$，其中 $m$ 是电子的相对论质量，$c$ 是光速。电子的静能 $E_0$ 可以表示为 $E_0 = m_0c^2$，其中 $m_0$ 是电子的静质量。根据题意，电子的动能 $E_k$ 等于它的静能，即 $E_k = E_0$。因此，电子的总能量 $E$ 可以表示为 $E = E_k + E_0 = 2E_0$。由此可以得到电子的相对论质量 $m$ 为 $m = \frac{2E_0}{c^2} = 2m_0$。
步骤 2：计算电子的速度
根据相对论质量公式 $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，可以得到 $\frac{m}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$。将 $m = 2m_0$ 代入，可以得到 $\frac{2m_0}{m_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，即 $2 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$。解这个方程，可以得到 $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$。
步骤 3：计算电子的德布罗意波长
根据德布罗意波长公式 $\lambda = \frac{h}{p}$，其中 $h$ 是普朗克常数，$p$ 是电子的动量。电子的动量 $p$ 可以表示为 $p = \sqrt{2m_0E_k}$。将 $E_k = E_0 = m_0c^2$ 代入，可以得到 $p = \sqrt{2m_0m_0c^2} = \sqrt{2}m_0c$。因此，电子的德布罗意波长 $\lambda$ 可以表示为 $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2}m_0c}$。将 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$，$m_0 = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}$，$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ 代入，可以得到 $\lambda = 1.4 \times 10^{-12} \text{ m}$。