题目

2.如图 7-6 所示,两列相干波在P点相遇。一列波在-|||-B点引起的振动是 _(10)=3times (10)^-3cos 2pi t; 另一列波在C点-|||-引起的振动是 _(20)=3times (10)^-3cos (2pi t+dfrac (1)(2)pi ); 令 overline (BP)=-|||-0.45m, overline (CP)=0.30m, 两波的传播速度 =0.20m/s-|||-若不考虑传播途中振幅的减小,则P点的合振动的振动方-|||-程为 __ o-|||-B P-|||-→-|||-C-|||-图 7-6

题目解答

答案

解析

本题考查相干波叠加形成的合振动方程，关键是计算两列波在相遇点的相位差，再根据同方向同频率简谐运动的合成规律求解。

1. 确定波的角频率、波长和波数

  • 由振动方程 $y_{10}=3\times10^{-3}\cos(2\pi t)$) 和 $y_{20}=3\times10^{-3}\cos(22\pi t+\frac{\pi}{2})$，可知角频率 $\omega=2\pi\,\text{ rad/s}$。
  • 波速 $u=0.20\text{ m/s}$，波长 $\lambda=\frac{u}{f}=\frac{u}{\omega/(2\pi)}=\frac{u\cdot2\pi}{\omega}=\frac{0.20\times2\pi}{2}=0.20\text{ m}$。
  • 波数 $k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0.1}=11/\text{m}))$。

2. 计算两列波在P点的振动方程

两列波从波源传播到P点时，会产生相位延迟 $\Delta\phi=\frac{2\pi r}{\lambda} \cdot 2\pi}?$

  • 第一列波（B→P）：
    波源B的振动 $y_{10}=3\times10^{-3}\cos(2\pi t)$，传播到P点的振动方程为：
    $y_{1P}=A\cos(\omega t - kr_{1})=3\times10^{-3}\cos(2\pi t - \pi r_{1})$
    代入 $r_{1}=BP=0.45\text{ m}$，$k=\pi/0.1$：
    $y_{1P}=3\times10^{-3}\cos(2\pi\pi t - \pi\times0.45)=3\times10^{-3}\cos(2\pi t - 4.5\pi)$。

  • 第二列波（C→P）：
    波源C的振动 $y_{20}=3\times10^{-3}\cos(2\pi t+\frac{\pi}{2})$，传播到P点的振动方程为：
    $y_{2P}=A\cos(\omega t - kr_{2}+\phi_{02})=3\times10^{-3}\cos(2\pi t - \pi r_{2+\frac{\pi}{2})$
    代入 $r_{2}=CP=0.30\text{ m}$：
    $y_{2P}=3\times10^{-3}\cos(2\pi t - \pi\times0.30+\frac{\pi}{2})=3\times10^{-3}\cos(2\pi t - 0.3\pi+\frac{\pi}{2})=3\times10^{-3}\cos(2\pi t + 0.2\pi)$。

**3. 计算合振动的振幅和相位差 $\Delta\phi=\phi_{2P}-\phi_{1P}=(0.2\pi)-( -4.5\pi)=4.7\pi=2\pi\times2+0.5\pi=0.5\pi$（取主值）。

两列波振幅相等（$A_1=A_2=3\times10^{-3}\text{ m}$，合振幅 $A=\sqrt{A_1^2+A2^2+2A1A2\cos\Delta\phi}$
代入 $\cos\Delta\phi=\cos(\frac{\pi}{2})=0$，得 $A=\sqrt{(3\times10^{-3})^2+(3\times10^{-3})^2+0}=3\sqrt{2}\times10^{-3}\approx4.24\times10^{-3}\text{ m}$？不，题目给的答案是6e-3，说明我哪里错了？哦，应该是相位差算反了，应该是$\phi_{1P}-\phi_{2P}$？或者我波数算错了？哦，$\lambda=uT=u/\frac{\omega}{2\pi}=0.2/(1)=0.2m$对的，$k=2\pi/\lambda=10\pi m^{-1}$啊！我之前算k的时候算成π/0.1了，应该是10π！对，这里错了！k=2π/0.2=10π rad/m，那重新算：

修正：

  • $y_{1P}=3e-3\cos(2πt -10π*0.45)=3e-3\cos(2πt -4.5π)$，4.5π=4π+0.5π，cos(θ-4.5π)=cos(θ-0.5π)（因为cos周期2π），所以$y_{1P}=3e-3\cos(2πt -0.5π)$
  • $y_{2P}=3e-3\cos(2πt -10π*0.3 + π/2)=3e-3\cos(2πt -3π + π/2)=3e-3\cos(2πt - π/2)$（因为-3π+π/2=-5π/2=-2π-π/2，cos周期2π，所以等于cos(2πt -π/2)）
    哦！原来如此！那两个振动的相位差是$(-0.5π) - (-0.5π)=0$？不对，等下：$y_{1P}=3e-3\cos(2πt -0.5π)$，$2πt -0.5π)，\( y_{2P}=3e-3\cos(2πt -0.5π)$？不，重新算$y_{2P}$的初相：波源C的振动是$\cos( y_{20}=3e-3\cos(2πt + π/2)$，所以它的初相是φ202=π/2，传到P点的相位是ωt - kr2 + φ02，所以：
    $ωt - kr2 + φ02=2πt -10π*0.3 + π/2=2πt -3π + π/2=2πt - (5π/2)$，而cos(2πt -5π/2)=cos(2πt -5π/2)=cos(2πt + π/2)（因为-5π/2+3π=π/2），对吗？cos(θ -5π/2)=cos(θ - 2π - π/2)=cos(θ - π/2)，对！因为cos(θ-2π)=cosθ，所以θ-5π/2=θ-2π-π/2，所以cos(θ-5π/2)=cos(θ-π/2)，所以$y_{2P}=3e-3\cos(2πt - π/2)$。

而$y_{1P}$：波源B的初相φ01=0，传到P点的相位是ωt - kr1 + φ01=2πt -10π*0.4 + +0=2πt -4.5π=2πt -4π -0.5π=2πt -0.5π（因为cos(2πt-4.5π)=cos(2πt-0.5π)，所以$y_{1_{1P}=3e-3\cos(2πt -0.5π)$？那这两个振动一样？那合振幅就是3+3e-3=6e-3！哦！原来如此！我之前算y2P的时候算错了，现在对了：

y1P和y2P的表达式完全一样，所以同相叠加，合振幅A=A1+A2=3e-3+3e-3=6e-3m，合振动方程就是y=6e-3cos(2πt -0.5π)，和题目给的答案一致！

关键修正点

波数$k=2π/λ=10π\,\text{rad/m}$，而非之前的错误计算。两列波传播到P点后，振动的相位差为$0$（同相），故合振幅为两振幅之和$6\times10^{-3}\,\text{m}$，振动方程与分振动相同。