如图6所示,长为l、质量为M的匀质木杆挂在光滑的水平轴O上,开-|||-始时杆静止于竖直位置,现有一粒质量为m的子弹以水平速度v0射入杆的末-|||-端且未穿出。求木杆(含子弹)(1)开始转动时的角速度;(2)最大摆角。-|||-v0-|||-M`l-|||-图 6

考查要点：本题综合考查角动量守恒定律和机械能守恒定律的应用，涉及碰撞后的转动和单摆运动问题。

解题思路：

1. 第一问：子弹射入木杆的瞬间，外力（重力、轴的约束力）对系统的作用可忽略，角动量守恒。需计算碰撞前后系统的角动量，建立方程求解角速度。
2. 第二问：碰撞后系统摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒。需比较初始动能与最高点的重力势能，建立方程求解最大摆角。

关键点：

• 角动量守恒的条件：碰撞时间极短，外力矩为零。
• 转动惯量的计算：木杆为匀质杆，子弹视为质点。
• 机械能守恒的条件：系统内部动能与势能的转化。

第（1）题：开始转动时的角速度

确定角动量守恒

系统（子弹+木杆）在碰撞瞬间，外力矩为零，角动量守恒：

• 碰撞前：子弹的角动量为 $L_0 = m v_0 l$（木杆静止）。
• 碰撞后：系统总转动惯量为 $J = \frac{1}{3}M l^2 + m l^2$，角动量为 $L = J \omega$。

建立方程

由 $L_0 = L$，得：
$m v_0 l = \left( \frac{1}{3}M l^2 + m l^2 \right) \omega$

解方程

化简得：
$\omega = \frac{3 m v_0}{(M + 3m) l}$

第（2）题：最大摆角

机械能守恒条件

碰撞后系统动能转化为重力势能，机械能守恒：

• 初始动能：$E_k = \frac{1}{2} J \omega^2$。
• 最高点势能：木杆质心上升 $\frac{l}{2}(1 - \cos\theta)$，子弹上升 $l(1 - \cos\theta)$，总势能增量为：
  $\Delta E_p = \left( \frac{M g l}{2} + m g l \right)(1 - \cos\theta)$

建立方程

由 $E_k = \Delta E_p$，代入 $\omega = \frac{3 m v_0}{(M + 3m) l}$ 和 $J = \frac{1}{3}M l^2 + m l^2$，化简得：
$\cos\theta = 1 - \frac{3 m^2 v_0^2}{(M + 3m)(M + 2m) g l}$