题目
设 S 为曲面 z=2-x^2-y^2 (z geq 0)，D 为 x^2+y^2 leq 2，则积分 iint_(S) mathrm(d)S=(）。 A. int_(0)^2pi mathrm(d)theta int_(0)^2 sqrt(1+4r^2) , drB. int_(D) sqrt(4x^2+4y^2) , dx , dyC. int_(0)^2pi mathrm(d)theta int_(0)^1 sqrt(1+4r^2) , drD. int_(0)^2pi mathrm(d)theta int_(0)^sqrt(2) sqrt(1+4r^2) , dr
设 $S$ 为曲面 $z=2-x^2-y^2$ ($z \geq 0$)，$D$ 为 $x^2+y^2 \leq 2$，则积分 $\iint_{S} \mathrm{d}S=$(）。
- A. $\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} \sqrt{1+4r^2} \, dr$
- B. $\int_{D} \sqrt{4x^2+4y^2} \, dx \, dy$
- C. $\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} \sqrt{1+4r^2} \, dr$
- D. $\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{1+4r^2} \, dr$
题目解答
答案
为了求解曲面 $ S $ 的表面积，其中 $ S $ 由方程 $ z = 2 - x^2 - y^2 $ ( $ z \geq 0 $ ) 给出，我们需要计算曲面积分 $ \iint_S dS $。曲面 $ S $ 的表面积元素 $ dS $ 可以用函数 $ z = f(x, y) $ 的偏导数表示为：
\[ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA, \]
其中 $ dA = dx \, dy $ 是 $ xy $-平面上的面积元素。对于曲面 $ z = 2 - x^2 - y^2 $，我们有：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = -2x \quad \text{和} \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -2y. \]
将这些代入 $ dS $ 的公式中，我们得到：
\[ dS = \sqrt{1 + (-2x)^2 + (-2y)^2} \, dA = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} \, dA = \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \, dA. \]
曲面 $ S $ 在 $ xy $-平面上的投影区域 $ D $ 由不等式 $ z \geq 0 $ 确定。将 $ z = 0 $ 代入曲面方程，我们得到：
\[ 0 = 2 - x^2 - y^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 2. \]
因此，区域 $ D $ 是圆盘 $ x^2 + y^2 \leq 2 $。曲面 $ S $ 的表面积为：
\[ \iint_S dS = \iint_D \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \, dA. \]
为了计算这个积分，我们使用极坐标，其中 $ x = r \cos \theta $ 和 $ y = r \sin \theta $。在极坐标中，面积元素 $ dA $ 变为 $ r \, dr \, d\theta $，区域 $ D $ 变为 $ 0 \leq r \leq \sqrt{2} $ 和 $ 0 \leq \theta \leq 2\pi $。因此，积分变为：
\[ \iint_S dS = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{1 + 4r^2} \, r \, dr \, d\theta. \]
这与选项 D 相匹配。因此，正确答案是：
\[ \boxed{D} \]