题目
一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 随时间变化的关系为 a = 2 + 3t^2 , ((SI))，如果初始时刻质点的速度为 5 , (m/s)，当 t = 2 , (s) 时质点的速度大小为：v = ______ , (m/s)（勿输入空格、中文字符及特殊符号）。
一质点沿 $x$ 轴运动，其加速度 $a$ 随时间变化的关系为 $a = 2 + 3t^2 \, \text{(SI)}$，如果初始时刻质点的速度为 $5 \, \text{m/s}$，当 $t = 2 \, \text{s}$ 时质点的速度大小为：$v = \_\_\_\_\_\_ \, \text{m/s}$（勿输入空格、中文字符及特殊符号）。
题目解答
答案
根据题意，加速度 $ a = 2 + 3t^2 $，可得：
\[
v(t) = \int (2 + 3t^2) \, dt = 2t + t^3 + C
\]
由初始条件 $ v(0) = 5 $，得 $ C = 5 $。
故 $ v(t) = 2t + t^3 + 5 $。
当 $ t = 2 \, \text{s} $ 时：
\[
v(2) = 2 \times 2 + 2^3 + 5 = 4 + 8 + 5 = 17 \, \text{m/s}
\]
最终结果为：$ v = 17 \, \text{m/s} $。
答案：17 m/s
解析
本题考查的知识点是加速度与速度的关系，解题思路是利用加速度与速度的积分关系，结合初始条件求出速度随时间变化的函数表达式，再将特定时间代入该表达式求出对应时刻的速度。
- 首先明确加速度$a$和速度$v$的关系：加速度是速度对时间的导数，即$a = \frac{dv}{dt}$，那么速度$v$就是加速度$a$对时间$t$的积分。已知加速度$a = 2 + 3t^2$，对其进行积分可得速度$v$关于时间$t$的表达式：
- 根据积分公式$\int kdt=kt + C_1$（$k$为常数）和$\int t^n dt=\frac{1}{n + 1}t^{n + 1}+C_2$（$n\neq - 1$），对$a = 2 + 3t^2$积分：
- $\int(2 + 3t^2)dt=\int 2dt+\int 3t^2dt$。
- 对于$\int 2dt$，根据$\int kdt=kt + C_1$，这里$k = 2$，所以$\int 2dt=2t+C_1$；对于$\int 3t^2dt$，根据$\int t^n dt=\frac{1}{n + 1}t^{n + 1}+C_2$，$n = 2$，则$\int 3t^2dt=3\times\frac{1}{2 + 1}t^{2+1}+C_2=t^3+C_2$。
- 所以$v(t)=\int(2 + 3t^2)dt=2t + t^3 + C$（$C = C_1 + C_2$为积分常数）。
- 根据积分公式$\int kdt=kt + C_1$（$k$为常数）和$\int t^n dt=\frac{1}{n + 1}t^{n + 1}+C_2$（$n\neq - 1$），对$a = 2 + 3t^2$积分：
- 然后根据初始条件确定积分常数$C$：
- 已知初始时刻$t = 0$时，质点的速度$v(0)=5\ m/s$，将$t = 0$，$v(0)=5$代入$v(t)=2t + t^3 + C$中，得到$v(0)=2\times0+0^3 + C$。
- 即$5 = C$。
- 最后得到速度$v$关于时间$t$的完整表达式并计算$t = 2\ s$时的速度：
- 把$C = 5$代入$v(t)=2t + t^3 + C$，可得$v(t)=2t + t^3 + 5$。
- 当$t = 2\ s$时，将$t = 2$代入$v(t)=2t + t^3 + 5$中，$v(2)=2\times2+2^3 + 5$。
- 先计算各项：$2\times2 = 4$，$2^3=8$。
- 再计算$v(2)=4 + 8+5=17\ m/s$。