一质点的运动方程是 x(t)=Rcosomega t, y(t)=Rsinomega t。R,omega 为正常数。从 t_1=dfrac(pi)(omega) 到 t_2=dfrac(2pi)(omega) 时间内该质点的路程是[ ]A. 2RB. pi RC. 0D. pi Romega

本题考查质点运动学中路程的计算，解题思路是先根据质点的运动方程判断其运动轨迹，再计算给定时间内质点转过的角度，最后根据路程与半径和角度的关系计算路程，也可以通过速率积分的方法来计算路程。

1. 判断质点的运动轨迹：
   已知质点的运动方程为$x(t)=R\cos\omega t$，$y(t)=R\sin\omega t$。
   将两式分别平方可得$x^{2}=R^{2}\cos^{2}\omega t$，$y^{2}=R^{2}\sin^{2}\omega t$。
   然后将两式相加：$x^{2}+y^{2}=R^{2}\cos^{2}\omega t + R^{2}\sin^{2}\omega t$。
   根据三角函数的平方关系$\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha = 1$，这里$\alpha=\omega t$，则$x^{2}+y^{2}=R^{2}(\cos^{2}\omega t + \sin^{2}\omega t)=R^{2}$。
   这表明质点的运动轨迹是以原点为圆心，$R$为半径的圆，即质点做半径为$R$的匀速圆周运动。
2. 计算给定时间内质点转过的角度：
   对于匀速圆周运动，其角速度$\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$，变形可得$\Delta\theta=\omega\Delta t$。
   已知$t_1 = \frac{\pi}{\omega}$，$t_2 = \frac{2\pi}{\omega}$，则时间间隔$\Delta t=t_2 - t_1=\frac{2\pi}{\omega}-\frac{\pi}{\omega}=\frac{\pi}{\omega}$。
   所以质点转过的角度$\Delta\theta=\omega\times\frac{\pi}{\omega}=\pi$。
3. 计算路程：
   • 方法一：根据路程与半径和角度的关系计算
     在圆周运动中，路程$s = R\Delta\theta$（$R$为半径，$\Delta\theta$为转过的角度，这里角度需用弧度制）。
     将$R$和$\Delta\theta=\pi$代入可得$s = R\times\pi=\pi R$。
   • 方法二：通过速率积分计算
     先求质点的速率$v$，速率是位移对时间的导数。
     对$x(t)=R\cos\omega t$求导，根据求导公式$(\cos\alpha)^\prime=-\sin\alpha$，可得$v_x=\frac{dx}{dt}=-R\omega\sin\omega t$。
     对$y(t)=R\sin\omega t$求导，根据求导公式$(\sin\alpha)^\prime=\cos\alpha$，可得$v_y=\frac{dy}{dt}=R\omega\cos\omega t$。
     则质点的速率$v=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=\sqrt{(-R\omega\sin\omega t)^{2}+(R\omega\cos\omega t)^{2}}$。
     $v=\sqrt{R^{2}\omega^{2}\sin^{2}\omega t + R^{2}\omega^{2}\cos^{2}\omega t}=\sqrt{R^{2}\omega^{2}(\sin^{2}\omega t + \cos^{2}\omega t)}$。
     再根据三角函数的平方关系$\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha = 1$，可得$v = R\omega$。
     路程$s=\int_{t_1}^{t_2}vdt$，将$v = R\omega$，$t_1 = \frac{\pi}{\omega}$，$t_2 = \frac{2\pi}{\omega}$代入可得：
     $s=\int_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}}R\omega dt$。
     根据积分公式$\int kdt=kt+C$（$k$为常数），则$\int_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}}R\omega dt=R\omega t\big|_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}}$。
     $R\omega t\big|_{\frac{\pi}{\omega}}^{\frac{2\pi}{\omega}}=R\omega\times\frac{2\pi}{\omega}-R\omega\times\frac{\pi}{\omega}=2\pi R-\pi R=\pi R$。