正方形的一条对角线的两端点处各放置电荷Q,另一条对角线的两端点处各放置电荷q,若Q所受的合力为零,则Q与q的关系为()A. Q=-2^ (3_2)q. B. Q=2^ (3_2)q. C. Q=-2 q.D. Q=2 q.

本题考查库仑定律的矢量合成及对称性分析。关键点在于：

1. 正方形顶点电荷的对称性：利用正方形的对称性，简化各电荷间的作用力计算。
2. 矢量叠加原理：将各电荷对目标电荷的作用力分解为坐标分量，分别求和为零。
3. 电荷符号对力方向的影响：同性电荷相斥，异性电荷相吸，需注意力的方向。

坐标系设定与受力分析

设正方形顶点坐标为：

• $Q$位于$A(1,1)$和$C(-1,-1)$，
• $q$位于$B(-1,1)$和$D(1,-1)$。

以$A$点的$Q$为例，其受力包括：

1. $C$点的$Q$的库仑力（同性相斥，沿对角线方向）；
2. $B$点的$q$的库仑力（异性相吸，水平方向）；
3. $D$点的$q$的库仑力（异性相吸，竖直方向）。

分力计算

1. $C$点的$Q$对$A$点的$Q$的力：
   $F_{AC} = \frac{kQ^2}{(2\sqrt{2})^2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{kQ^2}{8\sqrt{2}}(1,1)$

2. $B$点的$q$对$A$点的$Q$的力：
   $F_{B} = \frac{kQq}{2^2} \cdot (-1,0) = -\frac{kQq}{4}(1,0)$

3. $D$点的$q$对$A$点的$Q$的力：
   $F_{D} = \frac{kQq}{2^2} \cdot (0,-1) = -\frac{kQq}{4}(0,1)$

合力为零的条件

将各分力叠加，令$x$、$y$方向分量均为零：
$\begin{cases} -\frac{kQ^2}{8\sqrt{2}} - \frac{kQq}{4} = 0 \\ -\frac{kQ^2}{8\sqrt{2}} - \frac{kQq}{4} = 0 \end{cases}$
解得：
$Q = -2^{\frac{3}{2}} q$