题目

【计算题】在折射率n_3=1.52的照相机镜头表面涂有一层折射率n_2=1.38的增透膜,若此膜仅适用于波长lambda=550(nm)的光,则此膜的最小厚度为多少?

【计算题】在折射率$n_3=1.52$的照相机镜头表面涂有一层折射率$n_2=1.38$的增透膜,若此膜仅适用于波长$\lambda=550\text{nm}$的光,则此膜的最小厚度为多少?

题目解答

答案

根据增透膜原理，两界面均发生 $ \pi $ 相位变化，总光程差需满足： \[ 2n_2 d = \frac{(2m + 1)\lambda}{2} \] 取 $ m = 0 $，得： \[ d = \frac{\lambda}{4n_2} = \frac{550 \, \text{nm}}{4 \times 1.38} = \frac{550}{5.52} \approx 99.6 \, \text{nm} \] 因此，增透膜的最小厚度为 $ d \approx 99.6 \, \text{nm} $。 答案：约 $ 99.6 \, \text{nm} $。

解析

本题考查增透膜的原理及光程差的计算。解题的关键在于理解增透膜的作用是使反射光干涉相消，从而减少反射光强度，增加透射光强度。同时要考虑光在不同介质界面反射时的相位变化情况，进而根据光程差公式计算出增透膜的最小厚度。

  1. 分析相位变化：
    • 当光从折射率为$n_1$（通常空气折射率$n_1 = 1$）的介质射向折射率为$n_2$的增透膜时，在增透膜上表面反射，由于$n_2>n_1$，反射光会发生$\pi$的相位变化。
    • 当光从增透膜射向折射率为$n_3$的镜头时，在增透膜下表面反射，由于$n_3>n_2$，反射光同样会发生$\pi$的相位变化。
    • 两界面反射光的相位变化相同，所以总光程差只需要考虑光在增透膜中传播的路程。
  2. 确定光程差公式：
    • 光在增透膜中传播的路程为$2n_2d$（$d$为增透膜厚度），要使反射光干涉相消，总光程差需满足$2n_2d=(2m + 1)\frac{\lambda}{2}$，其中$m = 0,1,2,\cdots$，$\lambda$为光在真空中的波长。
  3. 计算最小厚度：
    • 要求增透膜的最小厚度，取$m = 0$，此时光程差公式变为$2n_2d=\frac{\lambda}{2}$。
    • 对$2n_2d=\frac{\lambda}{2}$进行变形求解$d$，可得$d=\frac{\lambda}{4n_2}$。
    • 已知$\lambda = 550\text{nm}$，$n_2 = 1.38$，将其代入$d=\frac{\lambda}{4n_2}$可得：
      $\begin{align*}d&=\frac{550\text{nm}}{4\times1.38}\\&=\frac{550}{5.52}\text{nm}\\&\approx99.6\text{nm}\end{align*}$