题目

当电子被某加速器加速到能量为 E = 2.5 times 10^6 , eV 时，该电子的动能 E_k = ____ times 10^6 , eV。（电子的静止质量为 m_e = 9.11 times 10^-31 , kg，1 , eV = 1.60 times 10^-19 , J）

当电子被某加速器加速到能量为 $E = 2.5 \times 10^6 \, eV$ 时，该电子的动能 $E_k = \_\_\_\_ \times 10^6 \, eV$。（电子的静止质量为 $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$，$1 \, eV = 1.60 \times 10^{-19} \, J$）

题目解答

答案

根据题目，总能量 $ E = 2.5 \times 10^6 \, eV $，电子静能为： \[ E_0 = m_e c^2 = \frac{9.11 \times 10^{-31} \times (3.0 \times 10^8)^2}{1.60 \times 10^{-19}} = 0.5125 \times 10^6 \, eV \] 动能为： \[ E_k = E - E_0 = 2.5 \times 10^6 \, eV - 0.5125 \times 10^6 \, eV = 1.9875 \times 10^6 \, eV \] 最终结果为： \[ E_k \approx 1.99 \times 10^6 \, eV \] 答案：$ 1.99 \times 10^6 \, eV $。

解析

本题考查相对论中粒子的总能量、静能和动能之间的关系。解题思路是先根据电子的静止质量和光速计算出电子的静能，再利用总能量与静能、动能的关系求出电子的动能。

  1. 计算电子的静能 $E_0$：
    • 电子的静能公式为 $E_0 = m_e c^2$，其中 $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, kg$ 是电子的静止质量，$c = 3.0 \times 10^8 \, m/s$ 是真空中的光速。
    • 计算 $m_e c^2$ 的值：$m_e c^2 = 9.11 \times 10^{-31} \times (3.0 \times 10^8)^2 = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.0 \times 10^{16} = 81.99 \times 10^{-15} \, J$。
    • 因为 $1 \, eV = 1.60 \times 10^{-19} \, J$，所以将静能的单位换算为 $eV$：$E_0 = \frac{81.99 \times 10^{-15}}{1.60 \times 10^{-19}} = 0.5124375 \times 10^6 \, eV\approx 0.5125 \times 10^6 \, eV$。
  2. 计算电子的动能 $E_k$：
    • 根据相对论，粒子的总能量 $E$、静能 $E_0$ 和动能 $E_k$ 之间的关系为 $E = E_0 + E_k$，变形可得 $E_k = E - E_0$。
    • 已知总能量 $E = 2.5 \times 10^6 \, eV$，静能 $E_0 = 0.5125 \times 10^6 \, eV$，代入可得：$E_k = 2.5 \times 10^6 \, eV - 0.5125 \times 10^6 \, eV = 1.9875 \times 10^6 \, eV$。
    • 结果保留三位有效数字，$E_k \approx 1.99 \times 10^6 \, eV$。