例 9-12 求均匀带电球面电场中电势的分布.设球面半径为R,总电量为q.

本题主要考察均匀带电球面电场中电势分布的计算，涉及电势叠加原理和电势定义法两种思路，核心知识点包括球对称性、高斯定理及积分运算。

方法一：电势叠加原理

1. 微元划分：将带电球面分割为无数小圆环，每个圆环面积 $dS = 2\pi R\sin\theta \cdot Rd\theta$，电量 $dq = \sigma dSS = \frac{q}{4\pi R^2} \cdot 2\pi R^2 \sin\theta d\theta = \frac{q}{4\pi} \sin\theta d\theta$（$\sigma$ 为面电荷密度）。
2. 小圆环电势公式：由例9-11知，小圆环在轴线上一点的电势 $dU = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{l}$，其中 $l$为圆环到P点距离，几何关系 $l^2 = r^2 + R^2 - 2rR\cos\theta$，微分得 $ldl = rR\sin\theta d\theta$，即 $\sin\theta d\theta = \frac{dl}/{(rR)}$。
3. 积分求和：代入 $dq$ 和 $\sin\theta d\theta$，得 $dU = \frac{qdl}{8\pi\varepsilon_0 rR}$，积分 $U = \int d^\\frac{qdl}{8\pi\varepsilon_0 rR} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$（$r\geq R$），与点电荷电势相同。

方法二：电势定义法（更简便）

1. **场强分布（高斯定理）：
   • 球内（\r<R)）：$E = 0$（高斯面内无电荷）；
   • 球外（\r\geq R)）：$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$（等效点电荷）。
2. 积分计算电势：
   • 球外（$U = \int_r^\infty E\cdot dr = \int_r^\infty \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$；
   • 球内$U = \int_r^R 0\cdot dr + \int_R^\infty \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$（常数，等于球面电势）。