10.2 填空题.(1)边长为a的正方形导线回路载有电流I,则其中心处的磁感应强度为______.(2)计算有限长的直线电流产生的磁场______用毕奥-萨伐尔定律，______用安培环路定理(填“能”或“不能”).(3)电荷在静电场中沿任一闭合曲线移动一周,电场力做功为_______.电荷在磁场中沿任一闭合曲线移动一周,磁力做功为______.(4)两个大小相同的螺线管,一个有铁芯,一个没有铁芯,当给两个螺线管通以______电流时,管内的磁感线分布相同(填“相同”或“不相同”).

本题主要考查了毕奥 - 萨伐尔定律、安培环路定理、静电场和磁场的性质以及螺线管磁场的相关知识。下面对每小题进行详细分析：

1. (1) 求边长为$a$的正方形导线回路载有电流$I$时，其中心处的磁感应强度
   • 首先，根据毕奥 - 萨伐尔定律$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\times\hat{r}}{r^2}$，对于正方形的一条边，设正方形边长为$a$，中心到边的距离$r = \frac{a}{2}$。
   • 对于正方形的一条边，其在中心处产生的磁感应强度大小为：
     • 取正方形一条边，设电流方向沿边的方向，根据毕奥 - 萨伐尔定律，对边进行积分。对于一条长度为$a$的直导线，在距离导线$r$处的磁感应强度公式为$B_1=\frac{\mu_0I}{4\pi r}(\sin\theta_1+\sin\theta_2)$，对于正方形中心，$\theta_1=\theta_2 = 45^{\circ}$，$r=\frac{a}{2}$，则$B_1=\frac{\mu_0I}{4\pi\times\frac{a}{2}}(\sin45^{\circ}+\sin45^{\circ})$。
     • 因为$\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$B_1=\frac{\mu_0I}{2\pi a}\times\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}\mu_0I}{2\pi a}$。
   • 由于正方形有四条边，且四条边在中心处产生的磁场方向相同（由右手定则确定，垂直于正方形平面），所以正方形中心处的总磁感应强度$B = 4B_1$。
     • 把$B_1=\frac{\sqrt{2}\mu_0I}{2\pi a}$代入可得$B = 4\times\frac{\sqrt{2}\mu_0I}{2\pi a}=\frac{2\sqrt{2}\mu_0I}{\pi a}$，方向垂直于正方形平面。
2. (2) 判断有限长的直线电流产生的磁场能否用毕奥 - 萨伐尔定律和安培环路定理计算
   • 毕奥 - 萨伐尔定律$dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\times\hat{r}}{r^2}$是计算电流磁场的基本定律，对于有限长直线电流，我们可以通过对电流元$Idl$进行积分来计算其在空间某点产生的磁场，所以有限长直线电流的磁场能用毕奥 - 萨伐尔定律计算。
   • 安培环路定理$\oint_{L}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0\sum_{i}I_i$，该定理要求磁场具有高度的对称性，以便能将$\vec{B}$从积分号中提出来。而有限长直线电流的磁场不具有这种高度对称性，无法简单地使用安培环路定理来计算其磁场，所以不能用安培环路定理。
3. (3) 分析电荷在静电场和磁场中沿任一闭合曲线移动一周时，电场力和磁力做功的情况
   • 静电场是保守场，其电场力做功只与电荷的初末位置有关，与路径无关。根据保守场的性质，电荷在静电场中沿任一闭合曲线移动一周，初末位置相同，所以电场力做功$W_E = 0$。
   • 磁场对电荷的作用力$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$，根据向量叉乘的性质，$\vec{F}$始终垂直于$\vec{v}$，即磁力始终垂直于电荷的运动方向。根据功的定义$W=\vec{F}\cdot\vec{s}=F s\cos\theta$，因为$\theta = 90^{\circ}$，$\cos\theta = 0$，所以磁力做功$W_B = 0$。
4. (4) 比较有铁芯和无铁芯的两个大小相同的螺线管，通以相同电流时管内磁感线分布的情况
   • 对于无铁芯的螺线管，其内部的磁感应强度公式为$B=\mu_0nI$，其中$\mu_0$是真空磁导率，$n$是单位长度的匝数，$I$是电流。
   • 对于有铁芯的螺线管，由于铁芯被磁化后会产生附加磁场，其内部的磁感应强度公式为$B=\mu nI$，其中$\mu$是铁芯的磁导率，且$\mu\gg\mu_0$。
   • 因为$\mu\neq\mu_0$，所以当两个螺线管通以相同电流时，有铁芯和无铁芯的螺线管管内的磁感应强度不同，磁感线分布也不同。