2.从正态总体 approx N(mu ,(sigma )^2) 中抽取一个样本((X1,X2,···,xn),求k使得 (overline (X)gt mu +-|||-(S)_(n))=1-alpha , 其中α很小, _(n)=sqrt (dfrac {1)(n)sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2}

考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值与样本标准差的分布关系，以及t分布的应用。

解题核心思路：

1. 标准化处理：将样本均值$\overline{X}$与总体均值$\mu$的偏差用样本标准差$S_n$标准化，构造t分布统计量。
2. 利用t分布分位数：根据概率$P(\overline{X} > \mu + kS_n) = 1 - \alpha$，将不等式转化为t分布的分位数表达式，从而求出$k$的值。

破题关键点：

• 明确$S_n$的定义：题目中$S_n$是样本标准差，需确认其分母为$n$（而非通常的无偏估计$n-1$）。
• 构造t分布统计量：通过标准化将问题转化为t分布的分位数求解。

步骤1：标准化处理
将不等式$\overline{X} > \mu + kS_n$变形为：
$\frac{\overline{X} - \mu}{S_n} > k.$

步骤2：构造t分布统计量
根据正态总体性质，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，且$S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$。
标准化后，统计量$\frac{\overline{X} - \mu}{S_n / \sqrt{n}}$服从自由度为$n-1$的t分布，即：
$\frac{\overline{X} - \mu}{S_n / \sqrt{n}} \sim t(n-1).$

步骤3：关联不等式与t分布
原不等式等价于：
$\frac{\overline{X} - \mu}{S_n / \sqrt{n}} > k \sqrt{n}.$
根据概率条件$P\left(\frac{\overline{X} - \mu}{S_n / \sqrt{n}} > k \sqrt{n}\right) = 1 - \alpha$，得：
$k \sqrt{n} = t_{1 - \alpha}(n-1).$

步骤4：解出$k$
整理得：
$k = \frac{t_{1 - \alpha}(n-1)}{\sqrt{n}}.$
但题目中$S_n$的定义为分母$n$，需进一步调整。通过样本方差关系$S_n^2 = \frac{n-1}{n} S^2$（$S^2$为无偏估计），最终化简得：
$k = \frac{t_{1 - \alpha}(n-1)}{\sqrt{n-1}}.$