题目
如图所示，竖直放置气缸由截面积不同的两圆筒连接而成．截面积SA=20cm2的活塞A和质量为mB=1kg、截面积SB=10cm2的活塞B间用一原长L0=0.8m遵循胡克定律的弹性细线连接，其间封闭一定质量的理想气体，它们可在筒内无摩擦地上下滑动且不漏气．初始时，缸内气体温度T1=600K、压强p1=1.2×105Pa，此时活塞B的静止位置距圆筒连接处h=0.5m，弹性细线长L=1m。大气压强p0=1.0×105Pa，重力加速度g取10m/s2。（1）求活塞A的质量mA；（2）若缸内气体温度缓慢升高，直到活塞B即将脱离小圆筒，求此时缸内气体温度T2；（3）若缸内气体温度缓慢降低，直到细线的张力恰好为0，已知缸内气体内能变化量△U=-162J，求此过程缸内气体与外界交换的热量Q。
如图所示，竖直放置气缸由截面积不同的两圆筒连接而成．截面积SA=20cm2的活塞A和质量为mB=1kg、截面积SB=10cm2的活塞B间用一原长L0=0.8m遵循胡克定律的弹性细线连接，其间封闭一定质量的理想气体，它们可在筒内无摩擦地上下滑动且不漏气．初始时，缸内气体温度T1=600K、压强p1=1.2×105Pa，此时活塞B的静止位置距圆筒连接处h=0.5m，弹性细线长L=1m。大气压强p0=1.0×105Pa，重力加速度g取10m/s2。（1）求活塞A的质量mA；
（2）若缸内气体温度缓慢升高，直到活塞B即将脱离小圆筒，求此时缸内气体温度T2；
（3）若缸内气体温度缓慢降低，直到细线的张力恰好为0，已知缸内气体内能变化量△U=-162J，求此过程缸内气体与外界交换的热量Q。
题目解答
答案
解：（1）对活塞B受力分析，设绳上的拉力为F，根据平衡条件得：mBg+p1SB=p0SB+F
解得：F=mBg+p1SB-p0SB=1×10N+1.2×105×10×10-4N-1.0×105×10×10-4N=30N
再对活塞A受力分析，根据平衡条件得：mAg+p0SA+F=p1SA
代入数据解得：mA=$\frac{{p}_{1}{S}_{A}-{p}_{0}{S}_{A}-F}{g}$=$\frac{1.2×1{0}^{5}×20×1{0}^{-4}-1.0×1{0}^{5}×20×1{0}^{-4}-30}{10}kg$=1kg
（2）若缸内气体温度缓慢升高，直到活塞B即将脱离小圆筒，气体发生等压变化，根据盖—吕萨克定律得：
$\frac{（L-h）{S}_{A}+h{S}_{B}}{{T}_{1}}=\frac{L{S}_{A}}{{T}_{2}}$
解得此时缸内气体温度T2=$\frac{L{S}_{A}{T}_{1}}{（L-h）{S}_{A}+h{S}_{B}}$=$\frac{1×20×1{0}^{-4}×600}{（1-0.5）×20×1{0}^{-4}+0.5×10×1{0}^{-4}}$K=800K
（3）若缸内气体温度缓慢降低，在活塞A到了大圆筒底部前气体发生等压变化，此过程外界对缸内气体做功：
W1=p1ΔV=p1[（L-h）SA+hSB-LSB]=1.2×105×[（1-0.5）×20×10-4+0.5×10×10-4-1×10×10-4]J=60J
活塞A到了大圆筒底到细线的张力变为0，此过程缸体内气体压强减小了，活塞A到了大圆筒底部后随着温度继续降低，设遵循胡克定律的弹性细线的劲度系数为k，伸长量为x，根据平衡得缸体内气体压强p的表达式为：
p=$\frac{{p}_{0}{S}_{B}+kx-{m}_{B}g}{{S}_{B}}$
可知此过程缸内气体压强随弹性细线伸长量x的变化而线性变化，当细线的张力恰好减为0时，设气体压强减为p2，对活塞B受力分析，根据平衡得：p2SB+mBg=p0SB，解得此时封闭气体压强：
p2=$\frac{{p}_{0}{S}_{B}-{m}_{B}g}{{S}_{B}}=\frac{1.0×1{0}^{5}×10×1{0}^{-4}-1×10}{10×1{0}^{-4}}$pa=9×104Pa
由于缸内气体压强随弹性细线伸长量x的变化而线性变化，所以可以用压强的平均值计算外界对缸内气体做的功：
W2=$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{2}×{S}_{B}×（L-{L}_{0}）$=$\frac{1.2×1{0}^{5}+9×1{0}^{4}}{2}×10×1{0}^{-4}×（1-0.8）J$=21J
根据热力学第一定律得：Q=ΔU-W1-W2=-162J-60J-21J=-243J，此过程缸内气体向外界释放243J的热量。
答：（1）活塞A的质量为1kg；
（2）缸内气体温度T2为800K；
（3）此过程缸内气体向外界释放243J的热量。
解得：F=mBg+p1SB-p0SB=1×10N+1.2×105×10×10-4N-1.0×105×10×10-4N=30N
再对活塞A受力分析，根据平衡条件得：mAg+p0SA+F=p1SA
代入数据解得：mA=$\frac{{p}_{1}{S}_{A}-{p}_{0}{S}_{A}-F}{g}$=$\frac{1.2×1{0}^{5}×20×1{0}^{-4}-1.0×1{0}^{5}×20×1{0}^{-4}-30}{10}kg$=1kg
（2）若缸内气体温度缓慢升高，直到活塞B即将脱离小圆筒，气体发生等压变化，根据盖—吕萨克定律得：
$\frac{（L-h）{S}_{A}+h{S}_{B}}{{T}_{1}}=\frac{L{S}_{A}}{{T}_{2}}$
解得此时缸内气体温度T2=$\frac{L{S}_{A}{T}_{1}}{（L-h）{S}_{A}+h{S}_{B}}$=$\frac{1×20×1{0}^{-4}×600}{（1-0.5）×20×1{0}^{-4}+0.5×10×1{0}^{-4}}$K=800K
（3）若缸内气体温度缓慢降低，在活塞A到了大圆筒底部前气体发生等压变化，此过程外界对缸内气体做功：
W1=p1ΔV=p1[（L-h）SA+hSB-LSB]=1.2×105×[（1-0.5）×20×10-4+0.5×10×10-4-1×10×10-4]J=60J
活塞A到了大圆筒底到细线的张力变为0，此过程缸体内气体压强减小了，活塞A到了大圆筒底部后随着温度继续降低，设遵循胡克定律的弹性细线的劲度系数为k，伸长量为x，根据平衡得缸体内气体压强p的表达式为：
p=$\frac{{p}_{0}{S}_{B}+kx-{m}_{B}g}{{S}_{B}}$
可知此过程缸内气体压强随弹性细线伸长量x的变化而线性变化，当细线的张力恰好减为0时，设气体压强减为p2，对活塞B受力分析，根据平衡得：p2SB+mBg=p0SB，解得此时封闭气体压强：
p2=$\frac{{p}_{0}{S}_{B}-{m}_{B}g}{{S}_{B}}=\frac{1.0×1{0}^{5}×10×1{0}^{-4}-1×10}{10×1{0}^{-4}}$pa=9×104Pa
由于缸内气体压强随弹性细线伸长量x的变化而线性变化，所以可以用压强的平均值计算外界对缸内气体做的功：
W2=$\frac{{p}_{1}+{p}_{2}}{2}×{S}_{B}×（L-{L}_{0}）$=$\frac{1.2×1{0}^{5}+9×1{0}^{4}}{2}×10×1{0}^{-4}×（1-0.8）J$=21J
根据热力学第一定律得：Q=ΔU-W1-W2=-162J-60J-21J=-243J，此过程缸内气体向外界释放243J的热量。
答：（1）活塞A的质量为1kg；
（2）缸内气体温度T2为800K；
（3）此过程缸内气体向外界释放243J的热量。