题目
1.设X1,X2,···,Xn是取自总体X的一个样本,在下列情形下,试求总体参-|||-数的矩估计与最大似然估计:-|||-(1) sim B(1,p), 其中p未知, lt plt 1 ;-|||-(2) sim E(lambda ), 其中λ未知 lambda gt 0..
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解总体参数p的矩估计量
对于二项分布 $X\sim B(1,p)$，其期望值为 $E(X)=p$。因此，总体参数p的矩估计量为样本均值 $\overline{X}$，即 $\hat{p}=\overline{X}$。
步骤 2：求解总体参数p的最大似然估计量
对于二项分布 $X\sim B(1,p)$，其概率质量函数为 $P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}$，其中 $x=0,1$。似然函数为 $L(p)=\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$。对数似然函数为 $\ln L(p)=\sum_{i=1}^{n}x_i\ln p+\sum_{i=1}^{n}(1-x_i)\ln(1-p)$。对 $\ln L(p)$ 求导并令导数为0，得到 $\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\overline{X}$。
步骤 3：求解总体参数λ的矩估计量
对于指数分布 $X\sim E(\lambda)$，其期望值为 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$。因此，总体参数λ的矩估计量为 $\hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{X}}$。
步骤 4：求解总体参数λ的最大似然估计量
对于指数分布 $X\sim E(\lambda)$，其概率密度函数为 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，其中 $x>0$。似然函数为 $L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_i}$。对数似然函数为 $\ln L(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i$。对 $\ln L(\lambda)$ 求导并令导数为0，得到 $\hat{\lambda}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}x_i}=\frac{1}{\overline{X}}$。
对于二项分布 $X\sim B(1,p)$，其期望值为 $E(X)=p$。因此，总体参数p的矩估计量为样本均值 $\overline{X}$，即 $\hat{p}=\overline{X}$。
步骤 2：求解总体参数p的最大似然估计量
对于二项分布 $X\sim B(1,p)$，其概率质量函数为 $P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}$，其中 $x=0,1$。似然函数为 $L(p)=\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$。对数似然函数为 $\ln L(p)=\sum_{i=1}^{n}x_i\ln p+\sum_{i=1}^{n}(1-x_i)\ln(1-p)$。对 $\ln L(p)$ 求导并令导数为0，得到 $\hat{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\overline{X}$。
步骤 3：求解总体参数λ的矩估计量
对于指数分布 $X\sim E(\lambda)$，其期望值为 $E(X)=\frac{1}{\lambda}$。因此，总体参数λ的矩估计量为 $\hat{\lambda}=\frac{1}{\overline{X}}$。
步骤 4：求解总体参数λ的最大似然估计量
对于指数分布 $X\sim E(\lambda)$，其概率密度函数为 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$，其中 $x>0$。似然函数为 $L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\lambda e^{-\lambda x_i}$。对数似然函数为 $\ln L(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^{n}x_i$。对 $\ln L(\lambda)$ 求导并令导数为0，得到 $\hat{\lambda}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}x_i}=\frac{1}{\overline{X}}$。