题目
地球上的观察者发现一艘以速率0.6c向东航行的宇宙飞船将在5s后同一个以0.80c速率向西飞行的彗星相撞，问：(1)飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们靠近；(2)按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免碰撞.
地球上的观察者发现一艘以速率0.6c向东航行的宇宙飞船将在5s后同一个以0.80c速率向西飞行的彗星相撞，问：
(1)飞船中的人们看到彗星以多大速率向他们靠近；
(2)按照他们的钟，还有多少时间允许他们离开原来的航线避免碰撞.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定相对论速度变换公式
相对论速度变换公式为：${u}_{x''}=\dfrac {{u}_{x}-v}{1-\dfrac {{u}_{x}v}{c^2}}$，其中${u}_{x}$是彗星相对于地球的速度，$v$是飞船相对于地球的速度，${u}_{x''}$是彗星相对于飞船的速度。
步骤 2：计算彗星相对于飞船的速度
根据题目，${u}_{x}=-0.80c$，$v=0.60c$，代入相对论速度变换公式，得到${u}_{x''}=\dfrac {-0.80c-0.60c}{1-\dfrac {(-0.80c)(0.60c)}{c^2}}=\dfrac {-1.40c}{1+0.48}=-0.946c$。即彗星以0.946c的速率向飞船靠近。
步骤 3：计算飞船中的人们看到的碰撞时间
根据时间间隔的相对性公式，$\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$，其中$\Delta t$是地球上的观察者看到的碰撞时间，$v$是飞船相对于地球的速度。代入$\Delta t=5s$，$v=0.60c$，得到$\Delta t'=5s\sqrt{1-\dfrac{(0.60c)^2}{c^2}}=5s\sqrt{1-0.36}=5s\sqrt{0.64}=4s$。即飞船中的人们看到的碰撞时间是4s。
相对论速度变换公式为：${u}_{x''}=\dfrac {{u}_{x}-v}{1-\dfrac {{u}_{x}v}{c^2}}$，其中${u}_{x}$是彗星相对于地球的速度，$v$是飞船相对于地球的速度，${u}_{x''}$是彗星相对于飞船的速度。
步骤 2：计算彗星相对于飞船的速度
根据题目，${u}_{x}=-0.80c$，$v=0.60c$，代入相对论速度变换公式，得到${u}_{x''}=\dfrac {-0.80c-0.60c}{1-\dfrac {(-0.80c)(0.60c)}{c^2}}=\dfrac {-1.40c}{1+0.48}=-0.946c$。即彗星以0.946c的速率向飞船靠近。
步骤 3：计算飞船中的人们看到的碰撞时间
根据时间间隔的相对性公式，$\Delta t'=\Delta t\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$，其中$\Delta t$是地球上的观察者看到的碰撞时间，$v$是飞船相对于地球的速度。代入$\Delta t=5s$，$v=0.60c$，得到$\Delta t'=5s\sqrt{1-\dfrac{(0.60c)^2}{c^2}}=5s\sqrt{1-0.36}=5s\sqrt{0.64}=4s$。即飞船中的人们看到的碰撞时间是4s。